Единственность (в контексте теоремы)

В математике под единственностью в контексте теоремы понимают утверждение, что среди всех объектов, рассматриваемых в теории, существует не более одного объекта с заданным свойством. Формально это часто записывают через обозначение существования ровно одного объекта с свойством P: $\exists!\, x\; P(x)$. Такое утверждение обычно сопровождается утверждением существования; полная формулировка теоремы может звучать как «существует и единственен объект, удовлетворяющий условию P». Разделение на две части — существование и единственность — помогает ясно разделять две логические задачи: построить или указать хотя бы один пример, а затем показать, что других, отличных, примеров быть не может.

Доказательство единственности обычно строится по одному из стандартных шаблонов. Самый распространённый приём — предположить, что существуют два объекта с нужным свойством, и вывести из этого, что они совпадают. Этот приём формализуется так: пусть имеются два кандидата-решения, и под влиянием условий теоремы мы приходим к равенству $x_1 = x_2$, что завершает доказательство. Другие подходы используют монотонность, выпуклость, минимальность или максимальность: показывают, что любой другой объект с заданным свойством сравним с найденным и потому равен ему. Важно отличать «единственность» от «единственности до эквивалентности»: иногда говорят об единственном классе объектов с учётом некоторого отношения эквивалентности — это тоже форма уникальности, но более тонкая.