Перевод чисел между системами счисления

Перевод чисел между различными системами счисления является важной частью математики и информатики. Это необходимо для работы с данными в различных форматах, таких как двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.

Системы счисления

Системы счисления можно классифицировать по основанию (или радиусу):

• Десятичная система (основание 10) — стандартная система счисления, с которой мы встречаемся в повседневной жизни. Она использует 10 цифр: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 7,\; 8,\; 9$.

• Двоичная система (основание 2) — используется в компьютерах для представления данных. Использует 2 цифры: $0,10,\; 1$.

• Восьмеричная система (основание 8) — используется реже, но встречается в программировании и вычислениях. Использует 8 цифр: $0,1,2,3,4,5,6,70,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 7$.

• Шестнадцатеричная система (основание 16) — также широко используется в программировании, особенно для представления цветов и машинного кода. Использует 16 символов: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 7,\; 8,\; 9,\; A,\; B,\; C,\; D,\; E,\; F$.

Перевод числа из десятичной системы в другую систему

Перевод в двоичную систему

Для перевода числа из десятичной системы в двоичную нужно использовать метод деления на 2. Процесс заключается в том, чтобы делить число на 2 до тех пор, пока результат деления не станет равным 0. Остатки от деления записываются в обратном порядке.

Пример: Переведем число 13 в двоичную систему.

1. 13 ÷ 2 = 6, остаток 1
2. 6 ÷ 2 = 3, остаток 0
3. 3 ÷ 2 = 1, остаток 1
4. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Ответ: $13_{10}=1101_{2}13\_\{10\}\; =\; 1101\_2$.

Перевод в восьмеричную систему

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяют метод деления на 8. Процесс аналогичен переводу в двоичную систему.

Пример: Переведем число 65 в восьмеричную систему.

1. 65 ÷ 8 = 8, остаток 1
2. 8 ÷ 8 = 1, остаток 0
3. 1 ÷ 8 = 0, остаток 1

Ответ: $65_{10}=101_{8}65\_\{10\}\; =\; 101\_8$.

Перевод в шестнадцатеричную систему

Для перевода в шестнадцатеричную систему используем деление на 16. Остатки от деления записываются в виде шестнадцатеричных цифр (от 0 до F).

Пример: Переведем число 255 в шестнадцатеричную систему.

1. 255 ÷ 16 = 15, остаток 15 (F)
2. 15 ÷ 16 = 0, остаток 15 (F)

Ответ: $255_{10}=F{F}_{16}255\_\{10\}\; =\; FF\_\{16\}$.

Перевод числа из другой системы счисления в десятичную

Перевод из двоичной системы

Для перевода числа из двоичной системы в десятичную используется следующая формула:

где $d_{i}d\_i$ — цифры двоичного числа.

Пример: Переведем число $1101_{2}1101\_2$ в десятичную систему.

Ответ: $1101_2=13_{10}1101\_2\; =\; 13\_\{10\}$.

Перевод из восьмеричной системы

Для перевода из восьмеричной системы в десятичную также используется аналогичная формула, но основание 8.

Пример: Переведем число $101_{8}101\_8$ в десятичную систему.

Ответ: $101_8=65_{10}101\_8\; =\; 65\_\{10\}$.

Перевод из шестнадцатеричной системы

Для перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную аналогично используем формулу с основанием 16.

Пример: Переведем число $F{F}_{16}FF\_\{16\}$ в десятичную систему.

Ответ: $F{F}_{16}=255_{10}FF\_\{16\}\; =\; 255\_\{10\}$.

Преобразование чисел между другими системами

Для преобразования чисел между недесятичными системами, например, из двоичной в шестнадцатеричную, проще всего сначала перевести число в десятичную систему, а затем — в нужную систему счисления.

Пример: Переведем число $101011_{2}101011\_2$ в шестнадцатеричную систему.

1. Сначала переводим в десятичную систему:
   $101011_2=1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=32+8+2+1=43_{10}101011\_2\; =\; 1\; \backslash cdot\; 2^5\; +\; 0\; \backslash cdot\; 2^4\; +\; 1\; \backslash cdot\; 2^3\; +\; 0\; \backslash cdot\; 2^2\; +\; 1\; \backslash cdot\; 2^1\; +\; 1\; \backslash cdot\; 2^0\; =\; 32\; +\; 8\; +\; 2\; +\; 1\; =\; 43\_\{10\}$.

2. Затем переводим из десятичной в шестнадцатеричную:
   $43_{10}=2B_{16}43\_\{10\}\; =\; 2B\_\{16\}$.

Ответ: $101011_2=2B_{16}101011\_2\; =\; 2B\_\{16\}$.

Заключение

Перевод чисел между различными системами счисления является важным навыком в математике и программировании. Знание различных систем и методов их перевода позволяет эффективно работать с данными, представленными в различных форматах, и важно для понимания работы компьютеров и информационных технологий.