Решение: Опыт Кавендиша и масса Земли
Статья к заданиюКрутильные весы
Прочитайте текст и выполните задания.
Крутильные весы
Открытие Ньютоном закона всемирного тяготения явилось важнейшим событием в истории физики. Его значение определяется, прежде всего, универсальностью гравитационного взаимодействия. На законе всемирного тяготения основывается один из центральных разделов астрономии – небесная механика. До начала XIX в. константа G в закон всемирного тяготения не вводилась, так как во времена Ньютона были определены размеры Земли, но не её масса. И для всех расчётов в небесной механике использовали константу GM (произведение гравитационной постоянной на массу Земли).
Исторически первым экспериментальным доказательством закона всемирного тяготения для обычных тел, а также измерением гравитационной постоянной стал опыт английского учёного Генри Кавендиша с крутильными весами, поставленный в конце XVIII в.
Установка, которую использовал Г. Кавендиш, представляла собой деревянное коромысло с прикреплёнными к его концам небольшими однородными свинцовыми шарами массой по 775 г каждый. Коромысло было подвешено на нити из посеребрённой меди длиной 1 м. К шарам подносили более тяжёлые однородные шары массой 49,5 кг, сделанные также из свинца. Установка была заключена в камеру для защиты от внешних конвекционных потоков. Угол закручивания нити θ измерялся при помощи телескопа, так как был очень маленьким. Упругость нити на кручение определялась исходя из периода свободных колебаний коромысла. В начале XIX в. учёные, проанализировав результаты опытов Кавендиша, смогли определить гравитационную постоянную G.
Измерив модуль сил взаимодействия, массы шаров и расстояние между их центрами, можно было определить гравитационную постоянную из формулы закона всемирного тяготения.
Рисунок 1. Конструкция прибора Кавендиша
Рисунок 2. Схема взаимодействия шаров в опыте Кавендиша
Используя материал «Крутильные весы», объясните, почему опыт Кавендиша часто называют опытом по взвешиванию Земли.
Решение по шагам
4 шагаВ опыте Кавендиша измеряли очень малую силу гравитационного притяжения между известными массами свинцовых шаров. Это притяжение вызывало закручивание нити крутильных весов.
$$F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$$По измеренной силе, известным массам шаров и расстоянию между ними определяли гравитационную постоянную $G$.
$$G = \dfrac{Fr^2}{m_1m_2}$$Массу Земли находили из закона всемирного тяготения, применённого к телу у поверхности Земли: сила тяжести равна $mg$, а сила притяжения к Земле равна $G\dfrac{Mm}{R^2}$.
$$mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$$После сокращения массы тела $m$ получали формулу для массы Земли.
$$M = \dfrac{gR^2}{G}$$Опыт Кавендиша позволил измерить гравитационную постоянную $G$. Зная $G$, ускорение свободного падения $g$ и радиус Земли $R$, по формуле $M = \dfrac{gR^2}{G}$ вычисляли массу Земли. Поэтому опыт образно называют её «взвешиванием», хотя непосредственно Землю на весах не взвешивали.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Утверждать, что в опыте непосредственно измеряли массу Земли.
Не объяснить, каким образом измерение $G$ связано с вычислением массы Земли.
Использовать формулу без указания, что $g$ и $R$ известны, а $G$ определяется из опыта.