Решите неравенство (x-1)² < √2(x-1).

Решение: Решение квадратного неравенства

ОГЭ · Математика · Задание 13 · Решение неравенств

ПовышеннаяФИПИD24A93Развёрнутое решение≈ 4 минутыРазбор в 4 шага

Условие

Решите неравенство $(x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1)$.

Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.

4 шага

Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим выражение на множители:

$$(x-1)^2-\sqrt{2}(x-1)<0$$

Вынесем общий множитель $x-1$:

$$(x-1)(x-1-\sqrt{2})<0$$

Найдём нули множителей:

$$x-1=0 \Rightarrow x=1;\quad x-1-\sqrt{2}=0 \Rightarrow x=1+\sqrt{2}$$

Произведение двух линейных множителей отрицательно на интервале между его корнями. Так как неравенство строгое, концы интервала не включаются.

$$1<x<1+\sqrt{2}$$

Ответ

Ответ: $(1;\,1+\sqrt{2})$.

Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.

Потеря множителя $x-1$ при разложении на множители.

Включение точек $x=1$ или $x=1+\sqrt{2}$ в ответ при строгом неравенстве.

Неверное определение промежутка, на котором произведение отрицательно.

Закрепить приёмВ теме «Решение неравенств» ещё 200 задач — с ответом и таким же разбором.