Механическая работа и энергия
Механическая работа показывает, как сила передаёт энергию телу или отнимает её. Если сила изменяет скорость тела, меняется его кинетическая энергия; если тело поднимают, сжимают пружину или изменяют его положение в поле тяжести, меняется потенциальная энергия.
Работа силы и энергия
Перед изучением этой темы важно повторить понятие работы силы. Работа постоянной силы зависит от модуля силы \(F\), перемещения \(s\) и угла \(\alpha\) между направлением силы и перемещения.
Работа измеряется в джоулях: \(1\ \text{Дж}=1\ \text{Н}\cdot\text{м}\). Если сила направлена вдоль перемещения, \(\alpha=0^\circ\) и \(A=Fs\). Если сила направлена противоположно перемещению, \(\alpha=180^\circ\) и работа отрицательна: \(A=-Fs\). При перпендикулярном направлении сила работы не совершает.
Механическая энергия — физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу. Она включает кинетическую энергию движения и потенциальную энергию взаимодействия тел.
Кинетическая энергия зависит от массы и скорости тела. Потенциальная энергия определяется взаимным расположением взаимодействующих тел или деформацией тела.
Теорема о кинетической энергии
Теорема о кинетической энергии связывает работу всех сил, действующих на тело, с изменением его скорости. Результат действия сил можно определить не через время движения, а через совершённую работу.
Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела.
Если \(A_{\text{рез}}>0\), кинетическая энергия и скорость увеличиваются. Если \(A_{\text{рез}}<0\), тело замедляется. При \(A_{\text{рез}}=0\) кинетическая энергия не изменяется, хотя направление скорости, например при равномерном движении по окружности, может меняться.
Сила трения направлена против движения тела. Какую работу она совершает?
Потенциальная энергия и работа сил
Потенциальная энергия связана с консервативными силами: силой тяжести и силой упругости. При переходе тела из одного положения в другое работа такой силы равна убыли потенциальной энергии.
Работа консервативной силы при перемещении тела из положения 1 в положение 2 равна изменению потенциальной энергии со знаком минус.
Для тела массой \(m\) на высоте \(h\) около поверхности Земли потенциальная энергия тяжести равна \(E_p=mgh\). Нулевой уровень высоты выбирают произвольно, но в одной задаче его нужно использовать последовательно.
Если тело опускается, \(h\) уменьшается, потенциальная энергия уменьшается, а сила тяжести совершает положительную работу. При подъёме тела потенциальная энергия увеличивается, поэтому работа силы тяжести отрицательна. Работа внешней силы при медленном подъёме, наоборот, положительна.
Для деформированной пружины потенциальная энергия упругой деформации определяется жёсткостью \(k\) и удлинением или сжатием \(x\).
Работа силы упругости при возвращении пружины к недеформированному состоянию положительна, а при дополнительной деформации — отрицательна.
Закон сохранения механической энергии
Если в системе действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется. Это частный случай закона сохранения энергии. Если есть трение или сопротивление, часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию, поэтому механическая энергия уменьшается.
В замкнутой системе, где действуют только силы тяжести и упругости, полная механическая энергия остаётся постоянной.
При наличии трения изменение механической энергии равно работе неконсервативных сил:
Поскольку работа трения отрицательна, механическая энергия уменьшается. Энергия при этом не исчезает: она переходит во внутреннюю энергию тел и окружающей среды.
Разобранный пример: движение тела по наклонной плоскости
Брусок массой \(m=2\ \text{кг\) скользит без трения с высоты \(h=1{,}8\ \text{м}\) и начинает движение из состояния покоя. Найдите скорость бруска у основания. Примите \(g=10\ \text{м/с}^2\).
Трение отсутствует, поэтому механическая энергия сохраняется. Удобно выбрать основание наклонной плоскости нулевым уровнем потенциальной энергии.
Скорость бруска у основания равна \(6\ \text{м/с}\). Масса в данном случае сократилась: при отсутствии трения скорость зависит от высоты, но не зависит от массы тела.
Как решать задачи на работу и энергию
- Определите начальное и конечное состояния тела: скорость, высоту, деформацию.
- Выберите нулевой уровень потенциальной энергии и укажите его явно.
- Запишите виды энергии в начальном и конечном состояниях.
- Проверьте, есть ли трение или другие неконсервативные силы.
- При отсутствии потерь примените равенство механических энергий; при наличии трения учтите его работу.
- Проверьте единицы измерения и смысл ответа: скорость не может быть отрицательной, а энергия — величиной с неверной размерностью.
Не путайте работу силы с мощностью: работа характеризует переданную энергию, а мощность — скорость её передачи. Не записывайте \(mgh\) как потенциальную энергию без выбора высоты относительно нулевого уровня. Не применяйте сохранение механической энергии при наличии трения без учёта его работы. В теореме о кинетической энергии нужна работа равнодействующей всех сил, а не только одной выбранной силы.
Если тело падает без сопротивления, его скорость должна увеличиваться, а потенциальная энергия — уменьшаться. Если получился обратный результат, проверьте знак работы и начальное или конечное состояние.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Работа силы \(A=Fs\cos\alpha\) показывает передачу энергии при перемещении.
- Работа равнодействующей равна изменению кинетической энергии: \(A_{\text{рез}}=\Delta E_k\).
- Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: \(A_{\text{конс}}=-\Delta E_p\).
- Без трения сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий: \(E_k+E_p=\text{const}\).
- При трении механическая энергия уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию; это не нарушает общий закон сохранения энергии.