ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 6, 7 · ОГЭ

Теорема о кинетической энергии

Как работа равнодействующей изменяет скорость и кинетическую энергию тела
6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Теорема о кинетической энергии связывает два способа описания движения: действие силы через её работу и изменение движения тела через кинетическую энергию. Если на тело действует несколько сил, в теореме учитывают работу их равнодействующей силы.

Смысл теоремы

При движении тело может ускоряться или замедляться. Ускорение возникает под действием сил, а изменение скорости означает изменение кинетической энергии. Теорема показывает: энергия движения увеличивается, если равнодействующая совершает положительную работу, и уменьшается, если её работа отрицательна.

D
Кинетическая энергия

Кинетическая энергия — энергия движения тела. Для тела массой \(m\), движущегося со скоростью \(v\), она равна \(E_k=\frac{mv^2}{2}\). Кинетическая энергия не бывает отрицательной: \(E_k\ge 0\).

\[E_k=\frac{mv^2}{2}\]1
T
Теорема о кинетической энергии

Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело при его перемещении, равна изменению кинетической энергии тела.

\[A_{\text{равн}}=\Delta E_k=E_{k2}-E_{k1}=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}\]2

Здесь \(A_{\text{равн}}\) — работа равнодействующей, \(E_{k1}\) и \(E_{k2}\) — начальная и конечная кинетические энергии, \(v_1\) и \(v_2\) — начальная и конечная скорости. Масса тела при решении таких задач считается постоянной.

Fsтело
Сила F сообщает телу работу при перемещении s.

Как определить знак работы

Для постоянной силы работа определяется формулой \(A=Fs\cos\alpha\), где \(\alpha\) — угол между направлением силы и перемещением. Поэтому знак работы зависит от направления силы относительно движения.

\[A=Fs\cos\alpha\]3
  • Если сила направлена по движению, \(\alpha=0^\circ\), работа положительна: \(A=Fs\). Кинетическая энергия увеличивается.
  • Если сила перпендикулярна перемещению, \(\alpha=90^\circ\), работа равна нулю. Такая сила не изменяет кинетическую энергию.
  • Если сила направлена против движения, \(\alpha=180^\circ\), работа отрицательна: \(A=-Fs\). Кинетическая энергия уменьшается.

Например, при горизонтальном движении по шероховатой поверхности сила трения направлена против перемещения и совершает отрицательную работу. Если тело тянут равномерно, положительная работа силы тяги по модулю равна отрицательной работе трения, поэтому работа равнодействующей равна нулю и кинетическая энергия не изменяется.

i
Важное различие

В теореме нужна работа равнодействующей, а не обязательно работа одной выбранной силы. Можно сложить работы всех сил: \(A_{\text{равн}}=A_1+A_2+...\). Результат будет тем же.

Проверь понимание

Тело движется по горизонтали с постоянной скоростью. Чему равна работа равнодействующей силы?

Связь скорости и работы

Из теоремы можно найти неизвестную скорость. Подставим выражение для кинетической энергии и преобразуем равенство:

1
Записываем теорему о кинетической энергии.
\(\displaystyle A_{\text{равн}}=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}\)
2
Умножаем обе части на \(\frac{2}{m}\) и переносим начальную скорость в правую часть.
\(\displaystyle v_2^2=v_1^2+\frac{2A_{\text{равн}}}{m}\)
3
Скорость является неотрицательной величиной, поэтому выбираем положительный корень.
\(\displaystyle v_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2A_{\text{равн}}}{m}}\)
\[v_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2A_{\text{равн}}}{m}}\]4

Формула полезна, когда известны масса, начальная скорость и работа равнодействующей. Если тело начинало движение из состояния покоя, \(v_1=0\), и получается \(v_2=\sqrt{\frac{2A_{\text{равн}}}{m}}\).

Удобный алгоритм

Сначала определите начальную и конечную скорости. Затем вычислите \(E_{k1}\) и \(E_{k2}\), после чего найдите их разность. Если в условии дана работа, сразу используйте \(A_{\text{равн}}=\Delta E_k\).

Разобранный пример

№
Тележка разгоняется

Тележка массой \(m=2\) кг двигалась со скоростью \(v_1=3\) м/с. При движении на неё подействовала равнодействующая, совершившая работу \(A_{\text{равн}}=16\) Дж. Найдём конечную скорость.

Показать решение Решение

Известно: \(m=2\) кг, \(v_1=3\) м/с, \(A_{\text{равн}}=16\) Дж. Требуется найти \(v_2\).

1
Записываем формулу связи работы и кинетической энергии.
\(\displaystyle A_{\text{равн}}=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}\)
2
Выражаем квадрат конечной скорости.
\(\displaystyle v_2^2=v_1^2+\frac{2A_{\text{равн}}}{m}\)
3
Подставляем числа с единицами СИ.
\(\displaystyle v_2^2=3^2+\frac{2\cdot16}{2}=9+16=25\ \text{м}^2/\text{с}^2\)
4
Извлекаем положительный корень.
\(\displaystyle v_2=\sqrt{25}=5\ \text{м/с}\)

Ответ: конечная скорость тележки равна \(5\) м/с. Работа положительна, поэтому кинетическая энергия и скорость увеличились.

Проверим результат через энергии. Начальная энергия равна \(E_{k1}=\frac{2\cdot3^2}{2}=9\) Дж, конечная — \(E_{k2}=\frac{2\cdot5^2}{2}=25\) Дж. Разность \(25-9=16\) Дж совпадает с работой равнодействующей.

Особые случаи и связь с другими темами

Сила тяжести при подъёме и опускании тела может совершать работу, изменяя кинетическую энергию. На наклонной плоскости удобно рассматривать отдельно работу силы тяжести, реакции опоры и силы трения. Реакция опоры часто перпендикулярна перемещению и тогда её работа равна нулю.

Теорема о кинетической энергии не утверждает, что каждая сила меняет скорость. Она говорит о суммарном результате действия всех сил. Например, при движении по окружности центростремительная сила перпендикулярна мгновенной скорости, поэтому её работа равна нулю: направление скорости изменяется, но модуль скорости и кинетическая энергия могут оставаться постоянными.

!
Частые ошибки

1. Путают работу с силой: работа измеряется в джоулях, а сила — в ньютонах. 2. Забывают вычесть начальную энергию: нужно писать \(\Delta E_k=E_{k2}-E_{k1}\). 3. Используют скорость без возведения в квадрат. 4. Берут работу отдельной силы вместо работы равнодействующей. 5. Получив отрицательную работу, считают скорость отрицательной: отрицательной может быть работа, но скорость как модуль неотрицательна.

Запомнить

Положительная работа равнодействующей увеличивает кинетическую энергию, отрицательная уменьшает, нулевая оставляет её неизменной.

Проверка себя

Q
Быстрый тест по теме

Быстрый тест

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Формула энергии
Какова кинетическая энергия тела массой \(4\) кг, движущегося со скоростью \(2\) м/с?
Главное за минуту

Главное

  • Кинетическая энергия тела равна \(E_k=\frac{mv^2}{2}\).
  • Работа равнодействующей равна изменению кинетической энергии: \(A_{\text{равн}}=E_{k2}-E_{k1}\).
  • Положительная работа увеличивает скорость или энергию, отрицательная уменьшает, нулевая не изменяет кинетическую энергию.
  • Для нахождения конечной скорости используют \(v_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2A_{\text{равн}}}{m}}\).
  • В задачах важно учитывать работу всех сил и соблюдать единицы СИ.