Выбор закона радиоактивного распада
В задачах на радиоактивный распад нужно определить, какая величина меняется со временем: число нераспавшихся ядер, активность источника или доля распавшегося вещества. Удобный алгоритм состоит в выборе закона распада, переводе времени в периоды полураспада и аккуратной работе с единицами.
Основные величины и закон распада
Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильных ядер в другие ядра с испусканием частиц или излучения. Для отдельного ядра невозможно указать момент распада, но для большого числа ядер справедлив статистический закон радиоактивного распада.
Число \(N\) — количество нераспавшихся ядер в данный момент. Активность \(A\) — число распадов в единицу времени. В СИ активность измеряется в беккерелях: \(1\ \text{Бк}=1\ \text{с}^{-1}\).
Здесь \(N_0\) — начальное число ядер, \(T\) — период полураспада, а \(t\) — прошедшее время. Если время равно одному периоду, остаётся половина ядер; после двух периодов — четверть; после трёх — одна восьмая.
Постоянная распада \(\lambda\) показывает вероятность распада ядра за единицу времени. Экспоненциальная форма закона записывается так: \(N=N_0e^{-\lambda t}\). Для школьных задач чаще удобнее форма через периоды полураспада.
Активность и доля распавшегося вещества
Активность радиоактивного источника прямо пропорциональна числу нераспавшихся ядер: чем больше ядер осталось, тем больше распадов происходит за одну секунду.
Поэтому активность за каждый период полураспада уменьшается в два раза так же, как и число ядер. Если в условии дана масса чистого радиоактивного вещества, сначала можно найти число ядер: \(N=\frac{m}{M}N_A\), где \(M\) — молярная масса, а \(N_A\) — постоянная Авогадро.
Число распавшихся ядер равно разности начального и оставшегося числа: \(\Delta N=N_0-N\). Доля распавшегося вещества — это отношение этой разности к начальному числу ядер.
Если требуется процент распавшегося вещества, результат нужно умножить на \(100\%\). Доля оставшегося вещества равна \(N/N_0=2^{-t/T}\), а доля распавшегося — дополнение до единицы.
Если спрашивают число оставшихся ядер или массу оставшегося вещества, используйте закон для \(N\). Если спрашивают активность, используйте закон для \(A\). Если спрашивают долю распавшегося вещества, сначала найдите долю оставшихся ядер, затем вычтите её из единицы.
Алгоритм решения задачи
- Выпишите, что дано и что требуется найти: \(N\), \(A\), \(m\), \(\eta\) или число распадов.
- Определите начальную величину: \(N_0\), \(A_0\) или \(m_0\).
- Проверьте единицы времени. Если \(T\) задан в сутках, время \(t\) тоже удобно выразить в сутках; переводить в секунды нужно при использовании формулы \(A=\lambda N\).
- Найдите число периодов: \(k=t/T\). Если \(k\) — целое число, проще последовательно делить величину на два.
- Выберите формулу: \(N=N_0 2^{-k}\), \(A=A_0 2^{-k}\) или \(\eta=1-2^{-k}\).
- Проверьте ответ: число ядер, активность и масса не могут увеличиться при распаде; доля должна лежать между \(0\) и \(1\).
При целом числе периодов не считайте показатель степени на калькуляторе: после \(k\) периодов остаётся \(1/2^k\) начальной величины. Например, после четырёх периодов остаётся \(1/16\), то есть \(6{,}25\%\).
Какова доля нераспавшихся ядер после трёх периодов полураспада?
Разобранный пример
Активность радиоактивного источника в начальный момент равна \(A_0=800\ \text{Бк}\). Период полураспада вещества \(T=6\ \text{ч}\). Найдите активность через \(18\ \text{ч}\) и долю распавшихся ядер за это время.
Ответ: через \(18\ \text{ч}\) активность источника равна \(100\ \text{Бк}\), а распалось \(87{,}5\%\) исходного числа ядер. Обратите внимание: для вычисления активности не потребовались ни масса вещества, ни число Авогадро, поскольку начальная активность уже дана.
Если известны масса или число ядер
Масса радиоактивного вещества убывает в той же пропорции, что и число нераспавшихся ядер, если масса дочерних продуктов в задаче не учитывается. Поэтому можно писать \(m=m_0 2^{-t/T}\). Аналогично, если известно начальное число ядер, сразу используется формула (1).
Для нахождения активности по числу ядер сначала вычисляют постоянную распада в \(\text{с}^{-1}\), затем используют формулу \(A=\lambda N\). Период полураспада в этом случае обязательно переводят в секунды.
1. Путают долю распавшихся и долю оставшихся ядер: \(2^{-t/T}\) — это оставшаяся доля, а не распавшаяся. 2. Делят активность на число периодов вместо деления на \(2^k\). 3. Подставляют часы или сутки в формулу \(\lambda=\ln2/T\), хотя активность измеряется в беккерелях и требует \(T\) в секундах. 4. Забывают, что \(t/T\) — безразмерное число. 5. Считают, что распад прекращается через один период: через период остаётся половина, но оставшиеся ядра продолжают распадаться.
Проверка результата и связь с соседними темами
Для более сложных задач полезно различать закон распада и величины, связанные с излучением. Радиоактивный распад ядра описывает превращение ядра, а доза излучения и поглощённая доза характеризуют воздействие излучения на вещество. Они не заменяют формулы для числа ядер и активности.
После \(k\) периодов полураспада остаётся \(1/2^k\) начального количества. Активность уменьшается в той же пропорции. Доля распавшегося вещества равна \(1-1/2^k\).
Быстрая проверка
Главное
- Закон распада: \(N=N_0\cdot2^{-t/T}\); число периодов равно \(k=t/T\).
- Активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер: \(A=A_0\cdot2^{-t/T}\).
- Доля распавшегося вещества: \(\eta=1-2^{-t/T}\); для процентов умножьте результат на \(100\%\).
- При формуле \(A=\lambda N\) используйте \(\lambda=\ln2/T\) и выражайте \(T\) в секундах.
- Всегда различайте долю оставшихся ядер и долю распавшихся ядер.