Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности показывает, как изменяется скорость жидкости при переходе из широкой части трубы в узкую. Для стационарного движения несжимаемой жидкости произведение площади поперечного сечения трубы на скорость потока остаётся постоянным.
Что описывает уравнение неразрывности
Рассмотрим поток жидкости внутри трубы переменного сечения. Через каждое поперечное сечение за одинаковое время проходит одна и та же масса жидкости: жидкость не накапливается внутри трубы и не исчезает из потока. Это условие называют неразрывностью потока.
Движение жидкости называется стационарным, если в каждой фиксированной точке пространства скорость, давление и другие характеристики потока не изменяются со временем.
Несжимаемой называют жидкость, плотность которой при рассматриваемом движении можно считать постоянной. В школьных задачах воду обычно считают несжимаемой.
Скорость потока \(v\) считают направленной вдоль трубы. Если труба сужается, одна и та же порция жидкости должна пройти через меньшее сечение за то же время. Поэтому скорость в узкой части увеличивается. В широкой части скорость, наоборот, меньше.
Вывод уравнения
Пусть за время \(\Delta t\) жидкость перемещается в первом сечении на расстояние \(v_1\Delta t\). Объём прошедшей жидкости равен площади сечения, умноженной на длину пройденного участка. Такой же объём должен пройти через второе сечение.
Для стационарного движения несжимаемой жидкости в трубе \(S v=\mathrm{const}\). Для двух сечений трубы: \(S_1v_1=S_2v_2\).
Величина \(Q=Sv\) — это объёмный расход жидкости. Она показывает, какой объём жидкости проходит через сечение за единицу времени. Поэтому уравнение неразрывности можно понимать как закон сохранения объёма жидкости для несжимаемого потока.
Если сечение круглое, его площадь вычисляют по радиусу или диаметру: \(S=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}\). Поэтому при постоянном расходе скорость обратно пропорциональна квадрату радиуса: \(v\sim\frac{1}{r^2}\).
Труба сужается так, что площадь сечения уменьшается в 4 раза. Как изменится скорость несжимаемой жидкости?
Как решать задачи
- Запишите данные и приведите все длины к СИ: площади должны быть в квадратных метрах, скорости — в метрах в секунду.
- Определите, какие сечения рассматриваются, и обозначьте их площади и скорости.
- Запишите \(S_1v_1=S_2v_2\) или \(Q=Sv\).
- Выразите неизвестную величину и проверьте направление изменения скорости: в меньшем сечении скорость должна быть больше.
Вода течёт по горизонтальной трубе. Диаметр первого сечения \(d_1=6\) см, скорость в нём \(v_1=2\) м/с. Диаметр второго сечения \(d_2=3\) см. Найдём скорость \(v_2\).
Показать решение Решение
Диаметры сначала переводим в метры: \(d_1=0{,}06\) м, \(d_2=0{,}03\) м.
Ответ: \(v_2=8\) м/с. Диаметр уменьшился в 2 раза, площадь — в 4 раза, поэтому скорость увеличилась в 4 раза.
Связь с расходом и другими законами
Если известен расход \(Q\), скорость в выбранном сечении находят по формуле \(v=Q/S\). Поэтому один и тот же расход может соответствовать разным скоростям: в широкой трубе скорость меньше, в узкой — больше.
Уравнение неразрывности не определяет давление. Чтобы связать скорость, давление и высоту сечения, используют закон Бернулли. В задачах о потоке также важно различать скорость жидкости и скорость потока, а давление — с гидродинамическим давлением.
Для разветвлённой системы общий расход до разветвления равен сумме расходов в отдельных ветвях. Это является аналогом закона сохранения потока. При последовательных участках расход одинаков, а скорости определяются площадями сечений.
1. Используют отношение диаметров вместо отношения площадей: при круглой трубе \(S\sim d^2\). 2. Забывают перевести сантиметры в метры. 3. Путают расход \(Q\) со скоростью \(v\): \(Q\) измеряется в м³/с, а \(v\) — в м/с. 4. Применяют формулу к сжимаемому газу без учёта изменения плотности. 5. Считают, что давление обязательно входит в уравнение неразрывности: для него достаточно сохранения расхода.
Сравните площади. Если \(S_2<S_1\), то при постоянном расходе должно выполняться \(v_2>v_1\). Если получилось наоборот, проверьте индексы и единицы измерения.
Когда формула требует уточнения
Формула \(S_1v_1=S_2v_2\) применима, если поток стационарный, жидкость несжимаемая, а потери жидкости через стенки и ответвления отсутствуют. Для реальной вязкой жидкости скорость в разных точках одного сечения может различаться; тогда обычно используют среднюю скорость по сечению.
Для сжимаемого газа сохраняется не обязательно объёмный, а массовый расход: \(\rho Sv=\mathrm{const}\). При заметном изменении плотности простую формулу \(Sv=\mathrm{const}\) применять нельзя.
Итоговая проверка
Главное
- Для стационарного потока несжимаемой жидкости объёмный расход сохраняется: \(Q=Sv\).
- Для двух сечений трубы выполняется \(S_1v_1=S_2v_2\).
- В узком сечении скорость больше, в широком — меньше.
- Для круглой трубы \(S=\pi d^2/4\), поэтому скорость связана с квадратом диаметра.
- Формула требует стационарности, несжимаемости жидкости и отсутствия утечек.