Задачи на тепловое расширение
При нагревании большинство твёрдых тел расширяется, а при охлаждении сжимается. В задачах на тепловое расширение нужно определить новую длину, площадь или объём тела либо найти изменение этих величин по температуре и коэффициенту расширения.
Основная идея и обозначения
Тепловое расширение — изменение размеров тела при изменении температуры. Для твёрдого тела обычно рассматривают три случая: изменение одной длины, изменение площади поверхности и изменение объёма. Базовые зависимости подробнее разобраны на страницах линейное расширение и объёмное расширение.
Тепловое расширение — увеличение размеров тела при повышении температуры вследствие усиления теплового движения частиц. При понижении температуры размеры обычно уменьшаются.
Если тело нагревают, то \(\Delta T=T-T_0>0\) и изменение размера положительно. Если тело охлаждают, то \(\Delta T<0\), поэтому новая длина, площадь или объём меньше первоначальных.
Разность температур в градусах Цельсия и кельвинах численно одинакова: \(1\ ^\circ\mathrm{C}=1\ \mathrm{K}\) для изменения температуры. Поэтому в формулах можно использовать \(\Delta T=T-T_0\) в градусах Цельсия.
Изменение длины
Для стержня, проволоки или другой детали, у которой один размер намного больше остальных, используют коэффициент линейного расширения \(\alpha\). Он показывает относительное изменение длины при нагревании на один градус.
Коэффициент линейного расширения \(\alpha\) равен отношению относительного изменения длины к изменению температуры: \(\alpha=\frac{\Delta L}{L_0\Delta T}\). Его единица СИ — \(\mathrm{K}^{-1}\).
В школьных задачах произведение \(\alpha\Delta T\) обычно мало по сравнению с единицей. Однако формула \(L=L_0(1+\alpha\Delta T)\) уже учитывает изменение длины и применяется непосредственно.
1. Переведите начальную длину в метры. 2. Найдите \(\Delta T=T-T_0\). 3. Подставьте \(L_0\), \(\alpha\) и \(\Delta T\) в формулу. 4. Проверьте знак: при нагревании длина должна увеличиться.
Изменение площади
Если нагревается тонкая пластинка, изменяются два её линейных размера. Поэтому относительное изменение площади примерно в два раза больше относительного изменения каждого линейного размера.
Последнее соотношение справедливо для изотропного твёрдого тела — материала, свойства которого одинаковы по разным направлениям. Если в условии дана величина \(\beta\), используют её напрямую; если дана только \(\alpha\), можно применить \(\beta=2\alpha\).
Пластинку нагрели на \(50\ ^\circ\mathrm{C}\). Коэффициент линейного расширения материала равен \(\alpha\). Как приблизительно изменится её площадь?
Изменение объёма
Для объёмного расширения учитывают изменение трёх линейных размеров. В задачах на твёрдые тела и жидкости используют коэффициент объёмного расширения \(\gamma\). Основные зависимости собраны также на странице объёмное расширение.
Для изотропного твёрдого тела: \(\beta\approx2\alpha\), \(\gamma\approx3\alpha\). Эти соотношения следуют из того, что площадь зависит от двух, а объём — от трёх изменяющихся линейных размеров.
Для жидкости обычно не говорят о линейном расширении: у жидкости нет собственной формы. Если жидкость находится в сосуде, нужно отдельно учитывать расширение самой жидкости и расширение сосуда. Такие ситуации относятся к задачам на объёмное расширение, а не к простому расширению одного твёрдого тела.
Разобранный пример: нагревание стержня
Медный стержень имеет длину \(L_0=2{,}0\ \mathrm{м}\) при температуре \(20\ ^\circ\mathrm{C}\). Его нагрели до \(120\ ^\circ\mathrm{C}\). Коэффициент линейного расширения меди \(\alpha=1{,}7\cdot10^{-5}\ \mathrm{K}^{-1}\). Найдите изменение длины и конечную длину стержня.
Ответ: стержень удлинился на \(3{,}4\ \mathrm{мм}\), его конечная длина равна \(2{,}0034\ \mathrm{м}\). При необходимости ответ можно округлить до разумного числа значащих цифр: \(L\approx2{,}003\ \mathrm{м}\).
Задачи с зазорами, отверстиями и ограничениями
При нагревании отверстие в металлической пластинке расширяется так, будто оно заполнено тем же материалом. Поэтому диаметр отверстия увеличивается по закону линейного расширения: \(d=d_0(1+\alpha\Delta T)\). Нельзя считать, что материал расширяется только внутрь отверстия.
Если два тела нагреваются одинаково, зазор между ними может измениться. Удобно считать изменение каждого размера отдельно, а затем составить разность конечных координат. Например, если расстояние между концами двух стержней равно \(g\), то новый зазор находят как начальный зазор плюс расширение одного стержня минус расширение другого.
Если деталь жёстко закреплена и не может удлиниться, возникающее напряжение рассматривают в задачах по механике упругих деформаций. В обычных задачах на тепловое расширение предполагают, что тело свободно расширяется.
• Подставляют в формулу конечную температуру вместо \(\Delta T\). Нужно вычислять \(T-T_0\).<br>• Забывают перевести сантиметры и миллиметры в метры.<br>• Для площади используют \(\alpha\) вместо \(2\alpha\), а для объёма — \(\alpha\) вместо \(3\alpha\).<br>• При охлаждении записывают положительное изменение температуры и получают неправильный знак.<br>• Считают, что отверстие при нагревании уменьшается.<br>• Путают изменение величины \(\Delta L\) с конечной величиной \(L\).
\(\Delta L=L_0\alpha\Delta T\), \(\Delta S=S_0\beta\Delta T\), \(\Delta V=V_0\gamma\Delta T\); конечный размер равен начальному плюс изменение: \(X=X_0+\Delta X\).
Как решать задачи на экзамене
- Определите, что изменяется: длина, площадь или объём.
- Выпишите начальную величину и коэффициент расширения нужного типа.
- Найдите \(\Delta T=T-T_0\) с учётом знака.
- Приведите все величины к единицам СИ.
- Выберите формулу для изменения или конечного значения.
- Проверьте порядок величины и физический смысл ответа.
В заданиях экзаменационного уровня часто требуется не просто подставить числа, а выбрать правильную модель. Например, для тонкой пластины с известным коэффициентом линейного расширения нужно перейти к \(\beta=2\alpha\), а для кубического тела — к \(\gamma=3\alpha\). Страницу можно использовать вместе с конспектом тепловое расширение, а базовые определения лучше повторить по странице тепловое расширение твёрдых тел.
Проверь себя
Главное
- Тепловое расширение определяется изменением температуры \(\Delta T=T-T_0\).
- Для длины используют \(\alpha\), для площади — \(\beta\), для объёма — \(\gamma\).
- Основные формулы: \(\Delta L=L_0\alpha\Delta T\), \(\Delta S=S_0\beta\Delta T\), \(\Delta V=V_0\gamma\Delta T\).
- Для изотропного твёрдого тела \(\beta\approx2\alpha\), \(\gamma\approx3\alpha\).
- При нагревании свободное тело увеличивается, при охлаждении уменьшается; отверстия в нагреваемых деталях тоже расширяются.