Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии связывает действие сил с изменением скорости тела. Она особенно удобна в расчётных задачах, где нужно найти скорость, перемещение или работу равнодействующей без подробного описания движения по времени.
Основные понятия
Кинетическая энергия тела — энергия его движения. Она зависит от массы тела и модуля его скорости. Если скорость увеличивается, кинетическая энергия возрастает; если тело замедляется — уменьшается.
Кинетическая энергия материальной точки массой \(m\), движущейся со скоростью \(v\), равна \(E_k=\frac{mv^2}{2}\). Кинетическая энергия — скалярная величина, поэтому учитывается модуль скорости, а не её направление.
Работа силы характеризует передачу энергии при перемещении тела. Для постоянной силы \(\vec F\) и перемещения \(\vec s\) работа равна произведению модуля силы, перемещения и косинуса угла \(\alpha\) между ними: \(A=Fs\cos\alpha\).
- Если сила направлена по перемещению, \(\alpha=0^\circ\), работа положительна: \(A=Fs\).
- Если сила перпендикулярна перемещению, \(\alpha=90^\circ\), работа равна нулю.
- Если сила направлена против перемещения, \(\alpha=180^\circ\), работа отрицательна: \(A=-Fs\).
Формулировка теоремы
Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела: \(A_{\text{рез}}=E_{k2}-E_{k1}\). Иначе говоря, работа равнодействующей показывает, насколько изменилась энергия движения.
Здесь \(v_1\) — начальная скорость, а \(v_2\) — конечная скорость на рассматриваемом участке. Если тело начинает движение из состояния покоя, то \(v_1=0\) и \(A_{\text{рез}}=\frac{mv_2^2}{2}\). Если тело останавливается, то \(v_2=0\), поэтому работа равнодействующей отрицательна: \(A_{\text{рез}}=-\frac{mv_1^2}{2}\).
В теореме используется работа равнодействующей всех сил, а не только одной выбранной силы. Суммарную работу можно записать как \(A_{\text{рез}}=A_1+A_2+\ldots+A_n\).
Теорема является следствием второго закона Ньютона и кинематической связи \(v_2^2-v_1^2=2as\). Поэтому она применима и тогда, когда силы действуют одновременно. В задачах с несколькими силами удобно отдельно вычислить работу каждой силы, а затем сложить результаты.
Тело движется по горизонтали с постоянной скоростью. Чему равна работа равнодействующей сил?
Как применять теорему в задачах
Решение обычно строится по одному алгоритму. Сначала выберите начальное и конечное состояния тела. Затем запишите кинетические энергии в этих состояниях. После этого найдите работу всех сил на рассматриваемом перемещении и приравняйте её изменению кинетической энергии.
- Сделайте рисунок и укажите направление перемещения.
- Запишите силы, действующие на тело: тяжести, реакции опоры, трения, тяги и другие.
- Для каждой силы определите работу по формуле \(A=Fs\cos\alpha\) или используйте известные результаты.
- Сложите работы и приравняйте сумму величине \(\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}\).
- Проверьте знак ответа, единицы измерения и разумность полученной скорости.
При движении по горизонтальной поверхности работа силы тяжести и нормальной реакции равна нулю: обе силы перпендикулярны перемещению. Работа силы трения обычно отрицательна. Если тело тянут силой под углом к горизонту, работа этой силы равна \(Fs\cos\alpha\), а не просто \(Fs\).
Если нужно найти конечную скорость, из теоремы получают \(v_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2A_{\text{рез}}}{m}}\). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: отрицательное значение означает, что выбранные данные несовместимы с движением до указанного конечного состояния.
Разобранный пример
Брусок массой \(m=2\) кг движется со скоростью \(v_1=3\) м/с. На пути \(s=5\) м на него действует постоянная сила тяги \(F=8\) Н по направлению движения и сила трения \(F_{\text{тр}}=2\) Н против движения. Найдём конечную скорость.
Показать Шешім Шешім
Выберем горизонтальное перемещение бруска. Работа силы тяги положительна, работа трения отрицательна. Работы тяжести и реакции опоры равны нулю.
Жауабы: \(v_2\approx6{,}2\) м/с. Скорость увеличилась, потому что положительная работа тяги по модулю больше отрицательной работы трения.
Связь с законом сохранения энергии
Теорема об изменении кинетической энергии — частный способ описания превращения энергии. Если действуют только консервативные силы, например сила тяжести или сила упругости, удобно применять закон сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной.
При наличии трения механическая энергия уменьшается, но энергия не исчезает: она переходит во внутреннюю энергию тела и поверхности. Работа силы трения в этом случае отрицательна и равна уменьшению механической энергии при соответствующем выборе системы.
Теорема об изменении кинетической энергии особенно полезна, если известны силы и перемещение, но время движения не дано. Если же в задаче описаны высота, пружина и переходы между состояниями, часто короче использовать закон сохранения механической энергии.
Частые ошибки
Не путайте работу силы с модулем жұмысы. Работа трения при движении обычно \(-F_{\text{тр}}s\), а работа силы, направленной под углом, содержит множитель \(\cos\alpha\). Нельзя считать работу равнодействующей только по одной силе, если остальные силы тоже имеют ненулевую работу.
- Записывают \(E_k=mv\), забывая квадрат скорости и множитель \(\frac12\).
- Считают, что нормальная реакция всегда совершает работу. Она равна нулю только при перпендикулярности силы перемещению.
- Подставляют путь вместо перемещения в задачах, где движение меняет направление. Работа зависит от конкретного участка и направления силы.
- Получают скорость без извлечения квадратного корня: из уравнения находится \(v^2\), а не \(v\).
- Используют граммы, сантиметры и километры в час без перевода в СИ.
Проверь себя
Кратко
- Теорема: \(A_{\text{рез}}=\Delta E_k=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}\).
- Работа равнодействующей равна сумме работ всех сил.
- Положительная работа увеличивает кинетическую энергию, отрицательная уменьшает её, нулевая не изменяет.
- Для каждой силы учитывайте направление: \(A=Fs\cos\alpha\).
- В задачах сначала определите состояния тела и все работы, затем найдите неизвестную скорость или перемещение из теоремы.