Резонанс и вынужденные колебания
Вынужденные колебания возникают под действием внешней периодической силы. Если частота этой силы близка к собственной частоте системы, амплитуда резко возрастает: это явление называют резонансом.
Вынужденные колебания и их характеристики
Вынужденные колебания — колебания системы, происходящие под действием внешней периодической силы. Например, качели можно раскачивать толчками, а мембрану динамика заставляет колебаться переменный электрический сигнал.
Внешняя периодическая сила изменяется через одинаковые промежутки времени. Её можно записать как \(F(t)=F_0\cos(\omega t)\), где \(F_0\) — амплитуда силы, а \(\omega\) — её циклическая частота.
В установившемся режиме система колеблется с частотой внешней силы, а не обязательно со своей собственной частотой. Амплитуда и запаздывание колебаний относительно силы зависят от частоты воздействия, массы, жёсткости и сопротивления среды.
Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней силы: если воздействие имеет частоту \(\nu\), то и система колеблется с частотой \(\nu\).
Здесь \(A\) — амплитуда, \(\omega\) — частота внешнего воздействия, а \(\varphi\) — разность фаз между колебанием системы и внешней силой. При наличии сопротивления свободная часть движения постепенно затухает, поэтому через некоторое время остаются главным образом вынужденные колебания. Это связано с темой затухающих колебаний.
Условие резонанса
Собственная частота — частота свободных колебаний системы. Для пружинного маятника она определяется массой груза и жёсткостью пружины, а для математического маятника — длиной нити и ускорением свободного падения.
Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы близка к собственной частоте системы: \(\omega\approx\omega_0\).
При слабом сопротивлении максимум амплитуды наблюдается почти точно при \(\omega=\omega_0\). При заметном сопротивлении максимум становится ниже и немного смещается в область частот, меньших собственной частоты. Поэтому резонанс — не просто совпадение частот, а результат наиболее эффективной передачи энергии от внешней силы системе.
На графике видно: при очень малой частоте сила меняется медленно, и система успевает следовать за ней; около собственной частоты амплитуда максимальна; при слишком большой частоте внешняя сила быстро меняет направление и не успевает заметно разогнать систему.
Что произойдёт с резонансной амплитудой, если сопротивление колебаниям увеличить?
Разобранный пример: настройка на резонанс
Пружинный маятник массой \(m=0{,}50\ \text{кг}\) и жёсткостью \(k=200\ \text{Н/м}\) испытывает вынуждающее воздействие. Найдём частоту, при которой амплитуда будет наибольшей, если сопротивлением можно пренебречь.
Показать решение Решение
Внешняя сила должна действовать с частотой примерно \(3{,}2\ \text{Гц}\), или циклической частотой \(20\ \text{рад/с}\). При таком воздействии возникнет резонанс.
Применение и предотвращение резонанса
Резонанс полезен, когда нужно получить большие колебания при небольшой мощности внешнего воздействия. Его используют в музыкальных инструментах: корпус гитары усиливает звук струны; в радиотехнике колебательный контур выбирает сигнал нужной частоты; в измерительных приборах резонанс помогает обнаруживать частоты.
- Раскачивание качелей: толчки нужно делать в правильный момент, совпадающий с ритмом движения.
- Музыкальные инструменты: резонатор усиливает колебания источника звука.
- Радиоприёмник: изменением параметров контура выделяют станцию с нужной частотой.
В технике резонанс может быть опасным: чрезмерные колебания вызывают разрушение деталей, мостов, зданий и машин. Особенно опасно, когда периодическая сила появляется из-за вращения двигателя, движения транспорта или порывов ветра.
Чтобы предотвратить разрушительный резонанс, изменяют собственную частоту системы, уменьшают амплитуду внешней силы или увеличивают сопротивление колебаниям.
- Изменить массу или жёсткость конструкции, чтобы отдалить собственную частоту от частоты воздействия.
- Установить демпферы и амортизаторы, превращающие часть энергии колебаний во внутреннюю энергию.
- Не допускать длительного периодического воздействия с частотой около собственной.
- Для некоторых конструкций применять синхронные действия, чтобы внешние силы не складывались опасным образом.
1. Нельзя говорить, что при резонансе частота колебаний становится бесконечной: совпадают частота воздействия и собственная частота, а амплитуда лишь достигает максимума. 2. Не путайте амплитуду с частотой: при резонансе резко возрастает именно амплитуда. 3. Формула \(\omega_0=\sqrt{k/m}\) относится к пружинному маятнику, а не к любой системе. 4. Единица циклической частоты — рад/с, а обычной частоты — Гц.
Сначала определите вид системы и найдите её собственную частоту. Затем сравните её с частотой внешней силы. Если частоты близки, делайте вывод о резонансе; если сопротивление не указано, обычно считают его малым.
Связь с волнами
Источник, создающий периодические колебания, может передавать их окружающей среде и порождать механическую волну. Скорость распространения волны зависит от свойств среды, а частота задаётся источником. Поэтому при переходе волны в другую среду частота сохраняется, а длина волны может измениться.
Для волны справедлива связь \(v=\lambda\nu\), где \(v\) — скорость распространения, \(\lambda\) — длина волны, а \(\nu\) — частота источника. Резонанс в колебательной системе и усиление волны — связанные, но не одинаковые явления: резонанс относится к отклику системы на внешнее периодическое воздействие.
Быстрая проверка
Главное
- Вынужденные колебания поддерживаются внешней периодической силой и в установившемся режиме имеют её частоту.
- Резонанс — резкое увеличение амплитуды при близости частоты воздействия к собственной частоте системы.
- Сопротивление уменьшает резонансную амплитуду и делает резонансный пик более широким.
- Резонанс используют для усиления звука, выбора частоты и настройки приборов, но опасный резонанс предотвращают изменением частоты, демпфированием и уменьшением внешнего воздействия.
- Для задач важно различать \(\nu\) в Гц и \(\omega=2\pi\nu\) в рад/с.