Разложение силы по осям
Разложение силы по осям — это представление вектора силы через взаимно перпендикулярные составляющие. Такой приём превращает векторное уравнение движения в два или три обычных уравнения по координатным направлениям.
Что значит разложить силу по векторам
Сила — векторная величина: у неё есть модуль и направление. Чтобы применять второй закон Ньютона, удобно выбрать координатные оси и заменить одну силу несколькими составляющими вдоль этих осей. Обычно выбирают оси \(Ox\) и \(Oy\), перпендикулярные друг другу.
Разложение силы по осям — представление вектора \(\vec F\) в виде суммы его проекций: \(\vec F=\vec F_x+\vec F_y\). Векторы \(\vec F_x\) и \(\vec F_y\) направлены вдоль выбранных осей, а их сумма равна исходной силе.
Проекция — это алгебраическая величина, поэтому она может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Если направление силы совпадает с положительным направлением оси, проекция положительна; если противоположно — отрицательна. Подробнее о смысле проекции см. на странице проекция силы на направление, а об общем приёме — в статье разложение силы.
Как находить проекции силы
Пусть сила \(\vec F\) образует угол \(\alpha\) с положительным направлением оси \(Ox\). Тогда горизонтальная составляющая является прилежащим катетом, а вертикальная — противолежащим. Знаки проекций определяются не формулами, а расположением вектора относительно осей.
Если сила направлена во второй четверти, то \(F_x<0\), а \(F_y>0\). Если угол задан с осью \(Oy\), роли синуса и косинуса меняются: проекция на ось, с которой измерен угол, равна \(F\cos\alpha\).
Сначала выберите положительные направления осей. Затем найдите модуль каждой составляющей и поставьте знак: «плюс» при совпадении с положительным направлением оси и «минус» при противоположном направлении.
- Нарисуйте тело и все действующие силы.
- Выберите оси, желательно вдоль движения, поверхности или неизвестной силы.
- Разложите только наклонные силы; сила, направленная вдоль оси, уже имеет одну ненулевую проекцию.
- Проверьте знаки проекций по рисунку.
- Запишите второй закон Ньютона отдельно для каждой оси.
Для вычисления проекций полезны также проекции силы на координатные оси. Если направление перпендикулярно поверхности, оно связано с вектором нормали — эту страницу полезно прочитать заранее.
Сила \(F\) направлена под углом \(60^\circ\) к положительному направлению оси \(Ox\). Чему равна её проекция на ось \(Ox\)?
Уравнения движения по осям
Основой решения является второй закон Ньютона: равнодействующая всех сил равна произведению массы тела на ускорение. После выбора осей векторное равенство заменяют равенствами его проекций.
В каждой сумме учитываются проекции всех сил на соответствующую ось. Если тело движется без ускорения по оси, то соответствующая проекция ускорения равна нулю. Например, при движении по горизонтальной поверхности с постоянной высотой \(a_y=0\), поэтому сумма вертикальных сил равна нулю.
На наклонной плоскости удобно направить \(Ox\) вдоль плоскости, а \(Oy\) перпендикулярно ей. Тогда ускорение обычно имеет только проекцию \(a_x\), а сила тяжести раскладывается на \(mg\sin\alpha\) вдоль плоскости и \(mg\cos\alpha\) перпендикулярно ей.
Силу трения направляют вдоль поверхности против относительного движения или возможного движения. Подробные задачи с таким выбором осей разобраны на странице трение на наклонной плоскости. Для системы тел важно различать внешние и внутренние взаимодействия: см. внешние силы системы и внутренние силы системы.
Разобранный пример: тело на наклонной плоскости
Брусок массой \(m=2\,\text{кг}\) скользит вниз по гладкой наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha=30^\circ\). Найдите ускорение. Трение отсутствует.
Ответ: \(a=5\,\text{м/с}^2\) вниз вдоль наклонной плоскости. Уравнение по оси \(Oy\) тоже можно записать: \(N-mg\cos\alpha=0\), откуда \(N=mg\cos\alpha\). Оно показывает, что перпендикулярного ускорения нет и брусок не отрывается от поверхности.
Особые случаи и проверка результата
Если сила направлена вдоль оси, её проекция равна \(F\) или \(-F\), а на перпендикулярную ось равна нулю. Если сила перпендикулярна оси, её проекция на эту ось также равна нулю. При правильном разложении выполняется проверка по теореме Пифагора:
Эта проверка относится к взаимно перпендикулярным осям. Кроме того, направление исходной силы можно восстановить по отношению составляющих: \(\tan\alpha=F_y/F_x\), если знаки и четверть координат учтены.
Не путайте модуль силы с её проекцией: \(F\) всегда неотрицателен, а \(F_x\) и \(F_y\) могут быть отрицательными. Не ставьте синус и косинус автоматически — сначала определите, с какой осью задан угол. Не добавляйте силу реакции опоры вдоль наклонной плоскости: на гладкой поверхности она перпендикулярна плоскости. Наконец, не записывайте одно скалярное уравнение вместо двух, если силы имеют компоненты по обеим осям.
Проверь себя
Главное
- Разложить силу по векторам — значит представить её как сумму составляющих вдоль выбранных осей.
- Если угол задан от оси \(Ox\), то \(F_x=F\cos\alpha\), \(F_y=F\sin\alpha\); знаки определяются направлениями осей.
- Второй закон Ньютона записывают по каждой оси: \(\sum F_x=ma_x\) и \(\sum F_y=ma_y\).
- Оси выбирают так, чтобы одна из них совпадала с движением, поверхностью или нормалью; это уменьшает число ненулевых проекций.
- После решения проверьте знаки, единицы измерения и соотношение \(F^2=F_x^2+F_y^2\).