Равновесие тела с осью вращения
Тело с неподвижной осью вращения находится в равновесии, если силы не вызывают его вращения. В задачах на рычаги и блоки это условие записывают через моменты сил относительно оси: суммы моментов, вращающих тело по часовой стрелке и против часовой стрелки, должны быть равны.
Условия равновесия тела
Неподвижная ось запрещает телу перемещаться, но тело может поворачиваться вокруг этой оси. Поэтому главное для такой задачи — выяснить, как каждая сила стремится повернуть тело. Сила может вращать тело по часовой стрелке, против часовой стрелки или не создавать вращения, если её линия действия проходит через ось.
Тело с неподвижной осью вращения находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих сил относительно этой оси равна нулю: силы не создают результирующего вращательного действия.
Для равновесия рычага сумма моментов сил, вращающих его в одну сторону, равна сумме моментов сил, вращающих его в противоположную сторону. Это частный случай общего условия \(\sum M=0\).
Кроме вращательного условия, в общем случае равновесия выполняется и условие равенства нулю суммы сил: \(\sum \vec F=0\). Однако для тела, закреплённого на неподвижной оси, реакция оси часто неизвестна, а её момент относительно самой оси равен нулю. Поэтому в задачах о рычаге обычно достаточно составить уравнение моментов.
Момент силы и плечо
Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело. Он зависит от значения силы и от расстояния от оси до линии действия силы. Это расстояние называют плечом силы. Плечо измеряют по перпендикуляру к линии действия силы, а не обязательно до точки приложения силы.
Если сила направлена перпендикулярно рычагу, а её точка приложения находится на расстоянии \(r\) от оси, то \(l=r\) и \(M=F\cdot r\). Если сила направлена под углом \(\alpha\) к рычагу, можно использовать две равносильные записи:
Момент измеряют в Н·м. Не следует путать его с работой: единицы совпадают, но физический смысл различен. Момент показывает вращательное действие силы, а работа — передачу энергии при перемещении.
На рисунке сила \(F_1\) слева стремится повернуть рычаг против часовой стрелки, а сила \(F_2\) справа — по часовой стрелке. При равновесии их моменты противоположны по знаку и равны по модулю.
Сначала проведите линию действия силы. Затем из оси вращения опустите на неё перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра и есть плечо \(l\). Если линия действия проходит через ось, \(l=0\), поэтому момент такой силы равен нулю.
Алгоритм решения задач
- Сделайте рисунок: обозначьте ось вращения, силы и расстояния.
- Определите линии действия сил и найдите их плечи относительно оси.
- Разделите силы на две группы: вращающие по часовой стрелке и против часовой стрелки.
- Если сила тяжести действует на тело, приложите её к центру тяжести: \(F_{тяж}=mg\).
- Запишите правило моментов: сумма моментов в одну сторону равна сумме моментов в другую.
- Подставьте данные в СИ, решите уравнение и проверьте единицы измерения.
Силу реакции оси обычно не включают в уравнение моментов относительно оси: её плечо равно нулю. Если ось не проходит через точку опоры или требуется найти реакцию, дополнительно используют условие равновесия сил. Для правила моментов важно не складывать без разбора все произведения: направления вращения должны быть учтены.
Однородный горизонтальный рычаг закреплён в центре. К его правому концу приложена вертикальная сила вниз. Какой момент относительно оси создаёт сила реакции опоры в точке закрепления?
Разобранный пример: рычаг с двумя силами
К левому концу невесомого горизонтального рычага длиной \(1{,}2\ \text{м}\) приложена вертикальная сила \(F_1=30\ \text{Н}\) вниз. Ось находится на расстоянии \(0{,}4\ \text{м}\) от левого конца. Какую силу \(F_2\) нужно приложить к правому концу вертикально вниз, чтобы рычаг оставался в равновесии?
Ответ: \(F_2=15\ \text{Н}\). Большая сила не требуется справа, потому что правое плечо в два раза длиннее левого. Это иллюстрирует выигрыш в силе: чем длиннее плечо, тем меньшая сила создаёт тот же момент.
Сила тяжести, вес и центр тяжести
Если рычаг или прикреплённый к нему груз имеют массу, их сила тяжести создаёт момент. Для однородного рычага силу тяжести считают приложенной в его середине. Для груза её прикладывают в центре тяжести груза. В задачах с подвесом не путайте силу тяжести и вес: в обычном покое у опоры или подвеса их численные значения могут совпадать, но это разные силы.
Если тело имеет сложную форму, положение его центра тяжести может быть дано в условии или найдено по координатам центра масс. Для горизонтального однородного стержня длиной \(L\) с осью на расстоянии \(a\) от одного конца плечо силы тяжести равно \(|L/2-a|\), если центр стержня не совпадает с осью.
Если есть сила давления на опору или натяжение нити, их также включают в список сил и для каждой находят собственное плечо. Сила трения может создавать момент, если её линия действия не проходит через ось; её величину иногда ограничивает предельная сила трения покоя.
Типичные ситуации и полезные проверки
| Ситуация | Что происходит с моментом |
|---|---|
| Сила направлена через ось | \(l=0\), момент равен нулю |
| Плечо увеличили в 2 раза | При той же силе момент увеличился в 2 раза |
| Силу уменьшили в 3 раза | При том же плече момент уменьшился в 3 раза |
| Тело однородное | Силу тяжести прикладывают в геометрическом центре |
| Ось сместили ближе к силе | Плечо этой силы уменьшилось, её момент стал меньше |
1. Берут расстояние до точки приложения вместо перпендикулярного плеча. 2. Считают реакцию оси отдельным моментом, хотя её плечо равно нулю. 3. Приравнивают силы вместо моментов: \(F_1=F_2\) верно только при равных плечах. 4. Забывают момент собственного веса рычага. 5. Используют сантиметры вместе с силами в ньютонах — сначала переведите длины в метры. 6. Не учитывают направление вращения.
Для каждой силы задайте три вопроса: где её линия действия? Каково плечо относительно оси? В какую сторону она вращает тело? После этого составьте равенство моментов.
Связь с другими задачами механики
Правило моментов применяется не только к простому рычагу. Оно работает для ворот, педалей, ключей, весов, шлагбаумов и любых тел, способных вращаться вокруг неподвижной оси. Если ось движется или тело рассматривают в ускоренной системе, могут понадобиться теорема о движении центра масс и силы инерции. При вращении по окружности дополнительно анализируют силу трения при движении по окружности.
Quick-test
Проверь себя
Главное
- Условие равновесия относительно неподвижной оси: \(\sum M=0\).
- Момент силы вычисляют по формуле \(M=Fl\), где \(l\) — перпендикулярное плечо.
- В равновесном рычаге моменты в противоположные стороны равны: \(F_1l_1=F_2l_2\).
- Реакция оси не создаёт момента относительно этой оси.
- Силу тяжести прикладывают к центру тяжести тела, а перед решением все расстояния переводят в метры.