Задания № 20, 21 · ЕГЭ

Координаты центра масс

Как вычислить положение центра масс системы тел по массам и координатам

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Координаты центра масс показывают, в какой точке можно мысленно сосредоточить всю массу системы тел при описании её поступательного движения. Они находятся как средние координаты тел, взвешенные по их массам.

Координаты центра масс системы тел — это координаты точки, положение которой определяется массами тел и их координатами относительно выбранной системы отсчёта. Для расчёта нужно знать систему тел, массы всех тел и координаты их центров масс.

\(m_i\)

масса тела

кг

\(x_i, y_i, z_i\)

координаты тела

\(x_цм, y_цм, z_цм\)

координаты центра масс

Формулы

Для системы из нескольких тел координата центра масс по каждой оси равна сумме произведений масс на соответствующие координаты, делённой на общую массу системы:

\[x_{\text{цм}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\dots+m_nx_n}{m_1+m_2+\dots+m_n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}\]1

\[y_{\text{цм}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_iy_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i},\qquad z_{\text{цм}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_iz_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}\]2

Если тела расположены на одной прямой, достаточно использовать одну координату. Для двух тел удобно записать \(x_{\text{цм}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\). Чем больше масса тела, тем ближе к нему находится центр масс. В однородном симметричном теле центр масс совпадает с центром симметрии; подробнее само понятие раскрыто на странице центра масс.

№

Пример

Два тела массами \(2\,\text{кг}\) и \(6\,\text{кг}\) находятся на оси \(x\) в точках \(x_1=0\,\text{м}\) и \(x_2=4\,\text{м}\). Тогда \(x_{\text{цм}}=\frac{2\cdot0+6\cdot4}{2+6}=3\,\text{м}\). Центр масс расположен ближе к более тяжёлому телу.

Не путайте

Центр масс не обязательно совпадает с геометрическим центром тела. Геометрический центр определяется формой и размерами, а центр масс — распределением массы. Также координата центра масс — это не среднее арифметическое координат, если массы тел различны.

Проверьте себя

Два тела одинаковой массы находятся в точках \(x_1=2\,\text{м}\) и \(x_2=8\,\text{м}\). Чему равна координата центра масс?

Главное за минуту

Главное

Координата центра масс — среднее координат тел с учётом их масс.
Используйте формулу \(x_{\text{цм}}=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}\) отдельно для каждой координатной оси.
Центр масс смещён в сторону тела с большей массой.