Задания № 22, 26 · ЕГЭ

Работа переменной силы

Как найти работу силы по графику \(F(x)\)

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Работа переменной силы равна площади под графиком зависимости проекции силы от координаты: участки над осью координат дают положительную работу, а под осью — отрицательную.

Работа переменной силы на участке от координаты \(x_1\) до координаты \(x_2\) — это величина, численно равная определённому интегралу проекции силы по координате: \(A=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx\). На графике \(F_x(x)\) работа равна алгебраической площади между графиком, осью \(x\) и вертикальными линиями \(x_1\), \(x_2\).

Сначала удобно повторить, что такое график работы силы: по горизонтали откладывают координату \(x\), а по вертикали — проекцию силы \(F_x\). Если сила направлена вдоль перемещения, можно писать просто \(F\); если направлена противоположно, её проекция отрицательна.

\(A\)

работа силы

Дж

\(F_x\)

проекция силы

\(x\)

координата

Формула и геометрический смысл

\[A=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx\]

Для простых графиков интеграл заменяют вычислением площадей геометрических фигур. Прямоугольник имеет площадь \(F\Delta x\), треугольник — \(\frac{1}{2}F\Delta x\), трапеция — \(\frac{F_1+F_2}{2}\Delta x\). Если график состоит из нескольких участков, работы складывают с учётом знаков. Это частный случай общего понятия работы силы.

№

Пример

Сила линейно возрастает от \(0\) до \(6\,\text{Н}\) на участке длиной \(4\,\text{м}\). Под графиком получается треугольник, поэтому \(A=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\,\text{Дж}\). Если после этого сила равна \(-2\,\text{Н}\) ещё на \(3\,\text{м}\), добавочная работа равна \(-2\cdot3=-6\,\text{Дж}\), а полная работа — \(6\,\text{Дж}\).

Не перепутайте

Площадь под графиком считают не всегда как обычную положительную площадь. Участок графика ниже оси \(x\) соответствует отрицательной работе. Кроме того, для работы нужна именно проекция силы на направление перемещения, а не обязательно полный модуль силы.

Проверьте себя

График силы расположен ниже оси \(x\) на всём пути. Каков знак работы этой силы?

Главное за минуту

Главное

Работа переменной силы определяется интегралом \(A=\int F_x(x)\,dx\).
На графике \(F_x(x)\) работа — алгебраическая площадь: выше оси положительная, ниже оси отрицательная.
Составной график разбивают на простые фигуры и складывают их площади с учётом знаков.