p-V-, V-T- и p-T-диаграммы
Диаграмма состояния показывает, как связаны параметры газа в процессе: давление \(p\), объём \(V\) и абсолютная температура \(T\). На этой странице разобраны три главных вида графиков — \(p(V)\), \(V(T)\) и \(p(T)\); они помогают определить вид процесса, сравнить состояния и найти неизвестный параметр.
Основные понятия и уравнение состояния
Состояние данной массы идеального газа задаётся тремя величинами: давлением \(p\), объёмом \(V\) и абсолютной температурой \(T\). При переходе из состояния 1 в состояние 2 хотя бы одна из них изменяется. График процесса строят в координатах двух параметров, а третий параметр либо меняется по закону, либо остаётся постоянным.
Диаграмма состояния — графическое изображение зависимости между параметрами газа. Точка на диаграмме соответствует одному состоянию газа, а линия или стрелка между точками — процессу перехода из одного состояния в другое.
Для постоянной массы идеального газа используется уравнение Менделеева—Клапейрона:
Здесь \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Если масса газа постоянна, то \(\nu\) постоянно, поэтому для двух состояний справедливо объединённое уравнение состояния:
Координаты точки на диаграмме дают значения двух параметров, указанных на осях. Третий параметр находят из уравнения состояния. Температуру в газовых законах подставляют только в кельвинах: \(T=t+273\).
p–V-диаграмма
На \(p\)–\(V\)-диаграмме по горизонтали откладывают объём \(V\), а по вертикали — давление \(p\). Каждая точка показывает состояние газа. Направление процесса обозначают стрелкой: движение вправо означает увеличение объёма, вверх — увеличение давления.
При постоянной температуре \(pV=\text{const}\), поэтому изотерма имеет вид гиперболы. При постоянном давлении график — горизонтальный отрезок: это изобарический процесс. При постоянном объёме график — вертикальный отрезок: это изохорический процесс.
На p–V-диаграмме изотермы — гиперболы. Чем выше расположена изотерма, тем больше значение \(pV\), а значит, при одинаковом количестве газа выше температура. Площадь под графиком процесса численно равна работе газа, если давление выражено в паскалях, а объём — в кубометрах.
Если газ расширяется, \(V_2>V_1\), то работа газа положительна. При сжатии \(V_2<V_1\) работа газа отрицательна. Подробное вычисление площади рассматривается на странице работа газа на p–V-диаграмме.
V–T-диаграмма
На \(V\)–\(T\)-диаграмме по горизонтали откладывают абсолютную температуру \(T\), а по вертикали — объём \(V\). Так как ось температуры начинается с абсолютного нуля, законы для идеального газа получают особенно простой вид.
При постоянном давлении выполняется закон Шарля: \(V/T=\text{const}\). Поэтому изобарический процесс изображается прямой, проходящей через начало координат, если продолжить её до \(T=0\). Чем больше наклон такой прямой, тем меньше давление газа при одинаковом количестве вещества.
При постоянном объёме график на \(V\)–\(T\)-диаграмме — горизонтальный отрезок. При постоянной температуре — вертикальный отрезок. Изотермический процесс подробнее разобран на странице изотермический процесс.
Нельзя изображать изобарический процесс прямой через начало координат на графике \(V(t)\), если по горизонтали отложена температура в градусах Цельсия. Такая прямая проходит через начало только на графике \(V(T)\) при температуре в кельвинах.
p–T-диаграмма
На \(p\)–\(T\)-диаграмме по горизонтали откладывают температуру \(T\), а по вертикали — давление \(p\). При постоянном объёме выполняется закон Гей-Люссака: \(p/T=\text{const}\). Поэтому изохорический процесс изображают прямой, проходящей через начало координат.
При постоянном давлении на \(p\)–\(T\)-диаграмме получается горизонтальный отрезок, а при постоянной температуре — вертикальный. Таким образом, один и тот же процесс выглядит по-разному в разных координатах: например, изобарический процесс — горизонтальная линия на \(p\)–\(V\) и \(p\)–\(T\), но наклонная прямая на \(V\)–\(T\).
| Процесс | Постоянная величина | p–V | V–T | p–T |
|---|---|---|---|---|
| Изотермический | \(T\) | гипербола | вертикаль | вертикаль |
| Изобарический | \(p\) | горизонталь | прямая через начало | горизонталь |
| Изохорический | \(V\) | вертикаль | горизонталь | прямая через начало |
Как выглядит изохорический процесс на p–T-диаграмме?
Алгоритм чтения диаграммы
- Определите, какие величины указаны на осях и в каких единицах.
- Найдите начальную и конечную точки, учитывая направление стрелки.
- Сравните координаты точек: увеличились или уменьшились \(p\), \(V\) и \(T\).
- Определите постоянную величину по горизонтальному, вертикальному или наклонному виду графика.
- Запишите объединённое уравнение состояния и подставьте известные значения.
- Проверьте ответ: температура должна быть в кельвинах, давление — в паскалях, объём — в кубометрах, если требуется единица СИ.
Разобранный пример
Газ переходит из состояния 1 с температурой \(T_1=300\,\text{К}\) и объёмом \(V_1=2\,\text{л}\) в состояние 2 с температурой \(T_2=450\,\text{К}\). На графике процесс изображён прямой линией через начало координат. Найдите \(V_2\) и сравните давления в состояниях.
Ответ: \(V_2=3\,\text{л}\), давление осталось постоянным. Обратите внимание: объём можно оставить в литрах, если требуется только отношение объёмов; для расчёта в СИ нужно перевести литры в кубические метры.
1. Направление вправо не всегда означает нагрев: это зависит от оси и конкретного графика. 2. Наклонная прямая не всегда означает изобарический процесс: сначала проверьте, какие параметры отложены по осям. 3. На p–V-диаграмме нельзя сравнивать температуры только по высоте точки: нужно сравнивать произведения \(pV\).
Запишите над каждой точкой три параметра: \(p\), \(V\), \(T\). Затем отметьте стрелками, что увеличивается и что уменьшается. Даже если график непривычный, объединённое уравнение состояния восстановит недостающую связь.
Связь с другими темами
Диаграммы являются частью общей темы диаграммы состояния газа. Перед решением задач полезно повторить параметры термодинамического процесса и термодинамические процессы. Для циклических процессов графики читают последовательно по стрелкам; затем можно переходить к циклу Карно на диаграмме и работе в циклическом процессе. Практика распознавания графиков собрана на странице задачи на графики тепловых процессов.
Quick-test
Проверь себя
Главное
- Точка на диаграмме задаёт состояние газа, а стрелка показывает направление процесса.
- Объединённое уравнение состояния: \(p_1V_1/T_1=p_2V_2/T_2\).
- На p–V-диаграмме изотерма — гипербола, изобара — горизонталь, изохора — вертикаль.
- На V–T-диаграмме изобара — прямая через начало координат; изохора — горизонталь; изотерма — вертикаль.
- На p–T-диаграмме изохора — прямая через начало координат; изобара — горизонталь; изотерма — вертикаль.
- Всегда проверяйте оси, направление процесса и используйте температуру в кельвинах.