Построение изображения вогнутым зеркалом
Вогнутое зеркало может давать действительное или мнимое изображение предмета. Вид изображения определяется расстоянием от предмета до зеркала: достаточно сравнить это расстояние с фокусным расстоянием \(F\) и расстоянием до центра кривизны \(C=2F\).
Основные понятия и лучи построения
Вогнутое зеркало — часть внутренней поверхности сферы, отражающая свет в сторону предмета. Главная оптическая ось проходит через полюс зеркала и центр его кривизны. Фокус сферического зеркала \(F\) лежит на главной оси посередине между зеркалом и центром кривизны \(C\).
Действительное изображение образуется пересечением самих отражённых лучей. Его можно получить на экране. Мнимое изображение возникает при пересечении продолжений отражённых лучей; на экране его получить нельзя.
Для построения изображения используют три главных луча. Луч, параллельный главной оси, после отражения проходит через фокус \(F\). Луч, проходящий через \(F\), после отражения идёт параллельно главной оси. Луч, направленный через центр кривизны \(C\), отражается обратно по своей линии, потому что падает перпендикулярно поверхности.
Для сферического зеркала фокус находится примерно посередине между полюсом и центром кривизны: \(F=\frac{R}{2}\), или \(R=2F\).
Построение при разных положениях предмета
Предмет обычно изображают стрелкой \(AB\), перпендикулярной главной оси. Точка \(B\) находится над осью, а точка \(A\) — на оси. После построения двух отражённых лучей находят изображение вершины \(B'\). Основание \(A'\) лежит на главной оси.
| Положение предмета | Положение изображения | Размер и вид |
|---|---|---|
| Дальше \(C\) | Между \(F\) и \(C\) | Действительное, перевёрнутое, уменьшенное |
| В точке \(C\) | В точке \(C\) | Действительное, перевёрнутое, равное предмету |
| Между \(C\) и \(F\) | Дальше \(C\) | Действительное, перевёрнутое, увеличенное |
| В точке \(F\) | Изображение удаляется в бесконечность | Лучи после отражения параллельны |
| Между \(F\) и зеркалом | За зеркалом | Мнимое, прямое, увеличенное |
Во всех случаях, когда предмет расположен дальше фокуса, отражённые лучи пересекаются перед зеркалом, поэтому изображение действительное. Если предмет находится между фокусом и зеркалом, лучи расходятся, а их продолжения пересекаются за зеркалом: изображение мнимое.
Предмет расположен между \(F\) и зеркалом. Каким будет изображение?
Положение предмета дальше \(C\), в \(C\), между \(C\) и \(F\), в \(F\), между \(F\) и зеркалом соответствует изображениям: между \(F\) и \(C\); в \(C\); дальше \(C\); бесконечность; за зеркалом.
Алгоритм построения изображения
- Проведите главную оптическую ось и изобразите вогнутое зеркало.
- Отметьте фокус \(F\) и центр кривизны \(C\); расстояние \(PC\) в два раза больше \(PF\).
- Поставьте предмет в заданное положение и проведите из его вершины \(B\) луч параллельно оси.
- Отразите этот луч через \(F\).
- Проведите второй луч через \(F\) или через \(C\) и постройте его отражение.
- Точка пересечения отражённых лучей даёт вершину изображения \(B'\). Проведите из неё перпендикуляр к оси и получите \(A'B'\).
- Определите вид изображения: действительное или мнимое, прямое или перевёрнутое, увеличенное или уменьшенное.
Формулы и количественная проверка
Качественное построение можно проверить расчётом. Для сферического зеркала используют формулу зеркала, связывающую фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения.
При выбранном школьном соглашении о знаках расстояние до действительного изображения перед зеркалом считают положительным, а расстояние до мнимого изображения за зеркалом — отрицательным. Для определения размера изображения используют линейное увеличение.
Знак «минус» показывает перевёрнутость изображения. Если \(|\Gamma|>1\), изображение увеличенное; если \(|\Gamma|<1\) — уменьшенное; если \(|\Gamma|=1\) — равное предмету.
Предмет находится на расстоянии \(d=30\) см от вогнутого зеркала с фокусным расстоянием \(F=10\) см. Найдём положение, вид и размер изображения, если высота предмета \(h=2\) см.
Ответ: изображение находится на расстоянии \(15\) см перед зеркалом, между \(F\) и \(C\); оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в два раза. Модуль его высоты равен \(1\) см.
1. Путают фокус и центр кривизны: \(C=2F\), а не \(C=F/2\). 2. Называют изображение за зеркалом действительным: за зеркалом оно мнимое. 3. Судят о размере только по расстоянию до зеркала, не сравнивая положение с \(F\) и \(C\). 4. Забывают, что действительное изображение вогнутого зеркала обычно перевёрнуто. 5. В формуле увеличения игнорируют знак: отрицательный знак означает перевёрнутое изображение.
Как отличить действительное изображение от мнимого
Главный признак действительного изображения — возможность получить его на экране. Если экран поставить в место пересечения отражённых лучей, на нём появится изображение. Для мнимого изображения лучи физически не пересекаются: видимое изображение получается только при продолжении лучей назад.
У вогнутого зеркала мнимое изображение появляется только при расположении предмета между фокусом и зеркалом. Оно прямое и увеличенное. Это свойство используют, например, в зеркалах для наблюдения мелких деталей.
- Проверил, где находятся \(F\) и \(C\).
- Провёл минимум два главных луча.
- Определил, пересекаются ли сами лучи или их продолжения.
- Указал положение, размер, ориентацию и вид изображения.
Итоговая проверка
Главное
- Фокус \(F\) находится на половине расстояния до центра кривизны: \(R=2F\).
- При предмете дальше \(F\) изображение действительное и перевёрнутое; его размер зависит от положения относительно \(C\).
- Предмет дальше \(C\) даёт уменьшенное изображение между \(F\) и \(C\), а предмет между \(C\) и \(F\) — увеличенное изображение дальше \(C\).
- Предмет в фокусе даёт параллельные отражённые лучи; предмет между зеркалом и \(F\) — мнимое, прямое и увеличенное изображение за зеркалом.
- Построение выполняют по двум главным лучам, а результат можно проверить формулами \(\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\) и \(\Gamma=-\frac{f}{d}\).