Относительное движение
Движение тела описывают не само по себе, а относительно выбранной системы отсчёта. Поэтому одно и то же тело может покоиться относительно одного наблюдателя и двигаться относительно другого. В этой теме разберём, как связаны координаты, перемещения и скорости в разных системах отсчёта.
Система отсчёта и относительность движения
Система отсчёта включает тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы. Координаты тела, его траектория, перемещение и скорость всегда указываются относительно этой системы.
Относительное движение — изменение положения тела относительно выбранной системы отсчёта. Если положение тела относительно системы отсчёта не меняется, тело покоится в этой системе.
Например, пассажир сидит в вагоне. Относительно вагона он покоится, а относительно Земли движется вместе с поездом. Землю обычно выбирают системой отсчёта для задач о движении автомобилей, поездов и тел у поверхности планеты.
Результат описания движения зависит от системы отсчёта, но физическое событие происходит одинаково для всех наблюдателей, если рассматриваются обычные скорости, намного меньшие скорости света.
Связь координат и перемещений
Рассмотрим две системы отсчёта: систему \(K\), связанную с Землёй, и систему \(K'\), движущуюся относительно неё. Пусть начало координат \(K'\) перемещается относительно \(K\) с перемещением \(\vec S\). Положение тела задаётся радиус-вектором.
Здесь \(\vec r\) — положение тела в системе \(K\), \(\vec R\) — положение начала системы \(K'\) относительно \(K\), а \(\vec r'\) — положение тела относительно \(K'\). Это векторное равенство означает: чтобы найти положение тела в первой системе, складывают положение подвижного начала и положение тела внутри подвижной системы.
Для перемещений за один и тот же промежуток времени получаем аналогичную формулу:
Если движение происходит вдоль одной прямой, векторы можно заменить алгебраическими величинами с выбранным положительным направлением. Тогда знаки показывают направление движения.
Относительное перемещение \(\vec s'\) — перемещение тела, измеренное в системе отсчёта, движущейся относительно другой системы. Оно показывает, как тело изменило положение для наблюдателя внутри подвижной системы.
Сложение скоростей
Разделим формулу для перемещений на время \(\Delta t\). Если системы отсчёта движутся равномерно или рассматривается мгновенная скорость, получаем закон сложения скоростей.
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчёта и скорости тела относительно подвижной системы.
В формуле \(\vec v\) — скорость тела относительно Земли, \(\vec V\) — скорость подвижной системы относительно Земли, \(\vec v'\) — скорость тела относительно подвижной системы. При движении по одной прямой используют знаки:
Если тело движется внутри вагона в сторону движения вагона, скорости складываются. Если оно идёт навстречу движению вагона, относительная скорость имеет противоположный знак, и скорости вычитаются.
Для нахождения скорости тела относительно подвижной системы формулу перестраивают:
В двумерных задачах скорости складывают как векторы. Для взаимно перпендикулярных скоростей модуль результирующей находят по теореме Пифагора:
Поезд движется вправо со скоростью \(20\ \text{м/с}\). Пассажир идёт влево относительно поезда со скоростью \(2\ \text{м/с}\). Какова его скорость относительно Земли?
Разобранный пример: лодка и течение
Лодка переплывает реку. Скорость лодки относительно воды равна \(3\ \text{м/с}\) и направлена перпендикулярно берегу. Скорость течения относительно берега равна \(4\ \text{м/с}\). Найдём скорость лодки относительно берега и направление её движения.
Систему \(K\) свяжем с берегом, а систему \(K'\) — с водой. Тогда скорость лодки относительно берега обозначим \(\vec v\), скорость течения — \(\vec V\), скорость лодки относительно воды — \(\vec v'\). По закону сложения скоростей \(\vec v=\vec V+\vec v'\).
Лодка в этом случае одновременно перемещается поперёк реки и сносится течением вдоль берега. Поэтому её траектория относительно берега наклонена, хотя относительно воды направление движения было перпендикулярным берегу.
Алгоритм шешімдер тапсырма
- Выберите систему отсчёта, относительно которой требуется найти скорость или перемещение.
- Нарисуйте направления всех скоростей и задайте положительное направление оси.
- Запишите векторную формулу \(\vec v=\vec V+\vec v'\) или формулу перемещений \(\vec s=\vec S+\vec s'\).
- Для движения по прямой расставьте знаки и выполните алгебраическое сложение.
- Для движения под углом разложите векторы по координатным осям или примените теорему Пифагора.
- Проверьте единицы измерения и смысл результата: направление и величина должны соответствовать условию.
1. Складывают модули скоростей, не учитывая направления. 2. Путают скорость тела относительно Земли со скоростью относительно вагона, воды или другого тела. 3. Используют формулу Пифагора для неперпендикулярных векторов. 4. Забывают, что при встречном движении одна из алгебраических скоростей должна иметь отрицательный знак. 5. Смешивают км/ч и м/с: \(1\ \text{м/с}=3{,}6\ \text{км/ч}\).
Сначала решите задачу векторами, а затем мысленно проверьте предельные случаи. Если скорость подвижной системы равна нулю, должна остаться относительная скорость. Если относительная скорость равна нулю, скорость тела должна совпасть со скоростью системы.
Быстрая проверка
Главное
- Движение и покой относительны: их описывают относительно выбранной системы отсчёта.
- Положение и перемещения связаны формулами \(\vec r=\vec R+\vec r'\) и \(\vec s=\vec S+\vec s'\).
- Скорости складываются векторно: \(\vec v=\vec V+\vec v'\).
- При движении по одной прямой учитывают знаки; при перпендикулярных направлениях используют теорему Пифагора.
- В задачах сначала определяют, относительно какой системы отсчёта дана каждая скорость, затем строят векторную схему.