Графики колебаний
График колебаний показывает, как величина изменяется со временем. По графику смещения можно определить амплитуду, период и начальную фазу, а по взаимному расположению графиков \(x(t)\), \(v(t)\) и \(a(t)\) — понять, в какие моменты тело движется быстрее всего, останавливается или испытывает максимальное ускорение.
Основные величины и вид графиков
При гармонических колебаниях смещение тела от положения равновесия изменяется по синусоидальному закону. Уравнение колебаний обычно записывают так: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)\) или \(x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)\). Здесь \(x\) — координата тела относительно положения равновесия, \(A\) — амплитуда, \(\omega\) — циклическая частота, \(\varphi_0\) — начальная фаза.
Гармонические колебания — периодические колебания, при которых смещение изменяется по закону синуса или косинуса: \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\). График \(x(t)\) имеет форму синусоиды.
Период \(T\) — время одного полного повторения движения. На графике его измеряют между двумя ближайшими одинаковыми состояниями: например, между соседними максимумами или моментами прохождения положения равновесия в одном и том же направлении.
Как читать график смещения
Амплитуда равна наибольшему по модулю отклонению от положения равновесия. Если график достигает \(x=+3\) см и \(x=-3\) см, то \(A=3\) см, а полный размах от минимума до максимума равен \(2A=6\) см. Нельзя принимать размах за амплитуду.
- Найдите на вертикальной оси максимальное положительное или отрицательное отклонение.
- Измерьте время между одинаковыми точками соседних циклов — это период \(T\).
- Определите значение графика при \(t=0\): оно равно \(x_0=A\cos\varphi_0\).
- Посмотрите на наклон графика в начальный момент: наклон вверх означает \(v_0>0\), наклон вниз — \(v_0<0\).
Для записи \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\) при \(t=0\): \(x_0=A\cos\varphi_0\), а \(v_0=-\omega A\sin\varphi_0\). Поэтому одного значения \(x_0\) недостаточно: направление движения определяют по наклону графика или по знаку скорости.
Если при \(t=0\) тело находится в положительном максимуме, то удобно взять \(\varphi_0=0\): \(x=A\cos\omega t\). Если оно проходит равновесие в положительном направлении, можно записать \(x=A\sin\omega t\) или \(x=A\cos(\omega t-\frac{\pi}{2})\).
Графики скорости и ускорения
Скорость — производная смещения по времени, а ускорение — производная скорости. Для гармонических колебаний эти величины также изменяются синусоидально, но их фазы отличаются от фазы смещения.
В крайних положениях \(x=\pm A\) скорость равна нулю, а модуль ускорения максимален: \(a_{\max}=\omega^2A\). В положении равновесия \(x=0\) ускорение равно нулю, а модуль скорости максимален: \(v_{\max}=\omega A\).
| Состояние тела | Смещение \(x\) | Скорость \(v\) | Ускорение \(a\) |
|---|---|---|---|
| Положительный максимум | \(+A\) | \(0\) | \(-\omega^2A\) |
| Положение равновесия, движение вправо | \(0\) | \(+v_{\max}\) | \(0\) |
| Отрицательный максимум | \(-A\) | \(0\) | \(+\omega^2A\) |
| Положение равновесия, движение влево | \(0\) | \(-v_{\max}\) | \(0\) |
График ускорения противоположен графику смещения: если \(x>0\), то \(a<0\), и наоборот. Поэтому графики \(x(t)\) и \(a(t)\) отличаются по фазе на \(\pi\), а график скорости сдвинут относительно графика смещения на четверть периода.
Тело проходит положение равновесия. Какая величина в этот момент максимальна по модулю?
Разобранный пример: параметры по графику
Пусть график задан уравнением \(x(t)=0{,}04\cos(2\pi t+\frac{\pi}{3})\) в СИ. Определим амплитуду, период, начальное смещение, начальную скорость и ускорение в момент \(t=0\).
Сначала сравним данное уравнение со стандартным видом \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\). Получаем \(A=0{,}04\) м, \(\omega=2\pi\) рад/с, \(\varphi_0=\frac{\pi}{3}\).
Знак начальной скорости отрицательный: в момент \(t=0\) тело движется в сторону уменьшения координаты. Ускорение также отрицательно, потому что тело находится справа от равновесия и ускорение направлено к нему.
Частые ошибки и алгоритм решения
Не путайте амплитуду с размахом: амплитуда равна \(A\), а расстояние между максимумом и минимумом — \(2A\). Не считайте расстояние от максимума до ближайшего минимума периодом: это \(T/2\). При чтении графика скорости учитывайте направление движения, а не только высоту кривой. Наконец, ускорение всегда направлено к положению равновесия: \(a=-\omega^2x\).
- Перевести все величины в единицы СИ.
- Считать амплитуду по максимальному модулю смещения.
- Найти период по повторяющимся одинаковым состояниям.
- Вычислить \(\omega=2\pi/T\).
- Определить знак скорости по направлению изменения графика.
- Проверить результат формулами \(v_{\max}=\omega A\) и \(a_{\max}=\omega^2A\).
Если на графике между двумя соседними максимумами укладывается, например, \(0{,}8\) с, это сразу период. Если между максимумом и ближайшим прохождением равновесия — \(0{,}2\) с, то это \(T/4\), следовательно, \(T=0{,}8\) с.
Проверь себя
Главное
- Амплитуда \(A\) — максимальный модуль смещения, а размах равен \(2A\).
- Период измеряют между ближайшими одинаковыми состояниями; \(T=2\pi/\omega\).
- В крайних положениях скорость нулевая, а ускорение максимально по модулю.
- В положении равновесия скорость максимальна, а ускорение равно нулю.
- Для гармонических колебаний \(a=-\omega^2x\): ускорение направлено к равновесию.
- Начальную фазу находят по значению смещения при \(t=0\) и направлению движения.