Задания № 8, 9 · ЕГЭ

Расчет средней длины свободного пробега

Как оценить расстояние между последовательными столкновениями молекул газа

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Средняя длина свободного пробега показывает, какое расстояние в среднем проходит молекула газа между двумя последовательными столкновениями. На странице разберём, как вычислять её через концентрацию молекул, давление, температуру и эффективный диаметр молекулы.

Что такое длина свободного пробега

Молекулы газа движутся хаотически и постоянно сталкиваются друг с другом. Между столкновениями молекула движется почти прямолинейно и равномерно. Длину такого участка называют длиной свободного пробега. Поскольку расстояния между столкновениями различны, используют среднюю длину свободного пробега $\lambda$.

Определение

Средняя длина свободного пробега $\lambda$ — среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями. Это средняя величина, поэтому отдельный пробег может быть как короче, так и длиннее $\lambda$.

Для оценки столкновений используют модель твёрдых шариков: молекула считается шаром диаметра $d$. Столкновение происходит, если центры двух молекул сближаются на расстояние не больше $d$. Площадь сечения столкновения равна $\sigma=\pi d^2$.

$\lambda$

средняя длина свободного пробега

$n$

концентрация молекул

м$^{-3}$

$d$

эффективный диаметр молекулы

$p$

давление газа

Па

$T$

абсолютная температура

$k$

постоянная Больцмана

Дж/К

Основная формула через концентрацию

Если концентрация молекул равна $n$, то в единице объёма находится примерно $n$ молекул. При движении молекула «прочерчивает» цилиндрическую область. За путь $l$ объём этой области равен $\pi d^2l$. В среднем одно столкновение произойдёт, когда в таком объёме окажется одна молекула: $n\pi d^2l\approx1$.

Формула средней длины свободного пробега

С учётом хаотического движения всех молекул вводится поправка $\sqrt2$. Поэтому для газа из одинаковых молекул используют закон: $\lambda=\frac{1}{\sqrt2\pi d^2n}$.

\[\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n}\]1

Здесь $d$ — эффективный диаметр молекулы, а $n$ — концентрация молекул. Из формулы видно: при увеличении концентрации или размера молекул средняя длина пробега уменьшается.

Если в условии дана масса газа и объём, сначала находят концентрацию: $n=\frac{N}{V}$. Число молекул можно выразить через количество вещества: $N=\nu N_A$, где $N_A$ — постоянная Авогадро. Для газа массой $m$ и молярной массой $M$: $\nu=\frac{m}{M}$.

\[n=\frac{N}{V}=\frac{\nu N_A}{V}=\frac{mN_A}{MV}\]2

При расчётах удобно пользоваться результатами из страницы «Концентрация молекул»: для идеального газа $n=\frac{p}{kT}$.

\[n=\frac{p}{kT}\]3

Формула через давление и температуру

Подставим $n=\frac{p}{kT}$ в основную формулу. Получим выражение, не требующее отдельного вычисления концентрации.

\[\lambda=\frac{kT}{\sqrt{2}\,\pi d^2p}\]4

При постоянном диаметре молекул $\lambda$ прямо пропорциональна абсолютной температуре и обратно пропорциональна давлению: $\lambda\sim T$ и $\lambda\sim\frac1p$. Поэтому при нагревании газа при неизменном давлении средняя длина пробега увеличивается, а при сжатии при неизменной температуре — уменьшается.

Схематическое представление отдельных участков свободного пробега между столкновениями.

На практике длина свободного пробега часто мала по сравнению с размерами сосуда, но намного больше размера самой молекулы. При уменьшении давления газ становится разреженным, столкновения происходят реже, а $\lambda$ возрастает.

Проверь себя

Как изменится $\lambda$, если давление идеального газа увеличить в 3 раза при постоянной температуре?

Связь с временем между столкновениями

Если средняя скорость теплового движения молекул равна $\bar v$, а среднее время между столкновениями — $\tau$, то расстояние за это время оценивается как произведение скорости на время.

\[\lambda=\bar v\tau\]5

Отсюда $\tau=\frac{\lambda}{\bar v}$. Средняя частота столкновений $z$ — число столкновений за единицу времени — связана с этим временем формулой $z=\frac1\tau$. Поэтому:

\[z=\frac{\bar v}{\lambda}\]6

Для более точных задач учитывают относительное движение двух молекул. Тогда оценка частоты столкновений имеет вид $z\approx\sqrt2\,n\pi d^2\bar v$, если $\bar v$ — средняя скорость одной молекулы. Это согласуется с формулой (1). Среднюю скорость можно найти на странице «Средняя скорость молекул», а физический смысл столкновений разобран на странице «Столкновения молекул».

Разобранный пример

№

Пример

Для газа при температуре $T=300\ \text{К}$ и давлении $p=1{,}0\cdot10^5\ \text{Па}$ эффективный диаметр молекулы равен $d=3{,}0\cdot10^{-10}\ \text{м}$. Найдите среднюю длину свободного пробега. Считать $k=1{,}38\cdot10^{-23}\ \text{Дж/К}$.

Записываем формулу, в которой сразу известны давление и температура.

$\displaystyle \lambda=\frac{kT}{\sqrt{2}\,\pi d^2p}$

Возводим диаметр в квадрат и подставляем данные в СИ.

$\displaystyle d^2=(3{,}0\cdot10^{-10})^2=9{,}0\cdot10^{-20}\ \text{м}^2$

Вычисляем числитель.

$\displaystyle kT=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300=4{,}14\cdot10^{-21}$

Вычисляем знаменатель.

$\displaystyle \sqrt2\pi d^2p\approx1{,}414\cdot3{,}14\cdot9{,}0\cdot10^{-20}\cdot10^5\approx4{,}0\cdot10^{-14}$

Делим числитель на знаменатель и записываем ответ.

$\displaystyle \lambda\approx\frac{4{,}14\cdot10^{-21}}{4{,}0\cdot10^{-14}}\approx1{,}0\cdot10^{-7}\ \text{м}=0{,}10\ \text{мкм}$

Ответ: $\lambda\approx1{,}0\cdot10^{-7}\ \text{м}$. Значит, при обычном атмосферном давлении молекула в среднем проходит около одной десятой микрометра между столкновениями.

Алгоритм решения задач

Определите, какие данные известны: $n$, $p$ и $T$, либо масса, объём и молярная масса газа.
Переведите все величины в СИ: давление — в паскали, диаметр — в метры, температуру — в кельвины.
Выберите формулу: $\lambda=\frac1{\sqrt2\pi d^2n}$ или $\lambda=\frac{kT}{\sqrt2\pi d^2p}$.
Проверьте степень десяти и единицу ответа: результат должен иметь размерность длины, то есть метр.
Оцените физический смысл: рост $n$, $p$ или $d$ должен уменьшать $\lambda$, а рост $T$ при постоянном $p$ — увеличивать её.

Частые ошибки

1. Используют температуру в градусах Цельсия вместо кельвинов: нужно $T=t+273$. 2. Не возводят диаметр в квадрат: в знаменателе стоит $d^2$. 3. Путают радиус и диаметр: в формуле используется эффективный диаметр $d$. 4. Забывают множитель $\sqrt2$ в формуле для одинаковых движущихся молекул. 5. Подставляют давление в атмосферах или мм рт. ст. вместо паскалей. 6. Называют $\lambda$ расстоянием между ближайшими молекулами: это средний путь между столкновениями, а не расстояние покоящихся частиц.

Быстрая проверка

Быстрый тест по теме

Проверьте понимание

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · единицы

Какова размерность средней длины свободного пробега?

Главное за минуту

Главное

Средняя длина свободного пробега — среднее расстояние между последовательными столкновениями молекул.
Основная формула: $\lambda=\frac{1}{\sqrt2\pi d^2n}$; через давление и температуру: $\lambda=\frac{kT}{\sqrt2\pi d^2p}$.
При увеличении концентрации, давления или диаметра молекул длина свободного пробега уменьшается.
Связь с временем между столкновениями: $\lambda=\bar v\tau$, а частота столкновений равна $z=\bar v/\lambda$.
Всегда переводите данные в СИ и проверяйте размерность и порядок ответа.