Вывод формулы плотности смеси жидкостей
Плотность смеси жидкостей находят как отношение общей массы смеси к её общему объёму. Если жидкости не вступают в реакцию и после смешивания объёмы складываются, формулу можно вывести через массы, объёмы и плотности компонентов.
1. Что такое плотность смеси
Плотность вещества показывает, какая масса приходится на единицу объёма. Для однородного тела или жидкости плотность обозначают буквой \(\rho\) и вычисляют по формуле \(\rho=\frac{m}{V}\), где \(m\) — масса, а \(V\) — объём.
Плотность смеси жидкостей — это отношение общей массы всех компонентов к объёму полученной смеси: \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\). В общем случае плотность смеси зависит от масс и плотностей компонентов.
Для двух жидкостей считаем, что они не реагируют химически, не испаряются, а объём смеси равен сумме объёмов компонентов: \(V_{\text{см}}=V_1+V_2\). Это приближение используется в типичных задачах школьного курса.
Перед решением удобно вспомнить формулу плотности смеси жидкостей: сначала записывают общий вид \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\), а затем выражают общую массу и общий объём через характеристики компонентов. Эта страница посвящена именно выводу формулы.
2. Вывод формулы для двух жидкостей
Пусть смешали две жидкости. Их массы равны \(m_1\) и \(m_2\), объёмы — \(V_1\) и \(V_2\), плотности — \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Общая масса равна сумме масс, а общий объём — сумме объёмов.
В первой форме формулы используются массы и объёмы компонентов. Во второй форме массы заменены выражениями \(m_1=\rho_1V_1\) и \(m_2=\rho_2V_2\). Выбирайте ту форму, для которой данные задачи требуют меньше преобразований.
Плотность смеси — это не среднее арифметическое плотностей, а отношение общей массы к общему объёму. Поэтому компоненты с большими объёмами сильнее влияют на результат.
3. Другие формы формулы и проверка результата
Если известны массы компонентов и их плотности, сначала находят объёмы: \(V_1=\frac{m_1}{\rho_1}\) и \(V_2=\frac{m_2}{\rho_2}\). Тогда формула принимает вид:
Иногда в условии дана массовая доля первого компонента \(w_1\). Тогда \(m_1=w_1m_{\text{см}}\), а \(m_2=(1-w_1)m_{\text{см}}\). После подстановки общая масса сокращается:
Важно различать массовую и объёмную долю. Если дана объёмная доля первого компонента \(\varphi_1=\frac{V_1}{V_1+V_2}\), то плотность смеси можно записать как взвешенное среднее по объёмам:
Если объёмы положительны, плотность смеси должна находиться между плотностями компонентов: \(\min(\rho_1,\rho_2)\le\rho_{\text{см}}\le\max(\rho_1,\rho_2)\). Если результат выходит за этот диапазон, почти наверняка допущена ошибка в единицах или формуле.
В каком случае плотность смеси двух жидкостей равна среднему арифметическому \(\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\)?
4. Разобранный пример
Смешали \(200\ \text{см}^3\) масла плотностью \(900\ \text{кг/м}^3\) и \(300\ \text{см}^3\) воды плотностью \(1000\ \text{кг/м}^3\). Найдите плотность смеси. Считайте, что объёмы складываются.
Показать решение Решение
Шаг 1. Переведём объёмы в единицы СИ: \(200\ \text{см}^3=2\cdot10^{-4}\ \text{м}^3\), \(300\ \text{см}^3=3\cdot10^{-4}\ \text{м}^3\).
Шаг 2. Используем формулу через плотности и объёмы:
Шаг 3. Подставим значения:
Шаг 4. Вычислим числитель и знаменатель: \(900\cdot2\cdot10^{-4}=0{,}18\ \text{кг}\), \(1000\cdot3\cdot10^{-4}=0{,}30\ \text{кг}\), общий объём равен \(5\cdot10^{-4}\ \text{м}^3\).
Ответ: \(\boxed{\rho_{\text{см}}=960\ \text{кг/м}^3}\). Результат находится между \(900\) и \(1000\ \text{кг/м}^3\), значит, проверка диапазона пройдена.
5. Алгоритм решения и типичные ошибки
- Выпишите плотности, массы и объёмы компонентов.
- Приведите все величины к согласованным единицам, лучше всего к кг, м³ и кг/м³.
- Определите общую массу и общий объём смеси.
- Выберите формулу (1), (2) или (3) в зависимости от известных данных.
- Подставьте числа, вычислите ответ и проверьте его размерность и диапазон.
1. Нельзя складывать плотности: \(\rho_1+\rho_2\) не является плотностью смеси. 2. Нельзя без основания брать среднее арифметическое плотностей. 3. Объём \(1\ \text{л}=10^{-3}\ \text{м}^3\), а \(1\ \text{см}^3=10^{-6}\ \text{м}^3\). 4. В формуле через массы объёмы равны \(m_1/\rho_1\) и \(m_2/\rho_2\), а не \(m_1\rho_1\) и \(m_2\rho_2\). 5. Не следует автоматически считать объёмы складывающимися, если в условии говорится о заметном сжатии, расширении или химической реакции.
В задачах, где дополнительно рассматриваются нагревание или изменение объёма, нужно учитывать тепловое расширение жидкостей. Для сплавов используется такой же общий принцип сложения массы и объёма; полезное сравнение есть на странице расчёт плотности сплава по составу.
Проверь себя
Главное
- Плотность смеси равна общей массе, делённой на общий объём: \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}\).
- При \(m_i=\rho_iV_i\) получаем \(\rho_{\text{см}}=\frac{\rho_1V_1+\rho_2V_2}{V_1+V_2}\).
- Если известны массы, используют \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_1+m_2}{m_1/\rho_1+m_2/\rho_2}\).
- Перед вычислениями приводите единицы к СИ и проверяйте, что ответ находится между плотностями компонентов.
- Среднее арифметическое плотностей получается только при равных объёмах двух жидкостей.