Расчет плотности сплава по составу
Чтобы найти плотность сплава, нужно разделить массу всего сплава на его объём. Если известны массы и плотности компонентов, сначала находят их объёмы, а затем складывают массы и объёмы; при известных объёмах сразу складывают массы компонентов.
Основная идея расчёта
Формула плотности сплава опирается на определение плотности: плотность тела равна отношению его массы к объёму. Для сплава или смеси масса складывается из масс компонентов, а объём — из их объёмов, если в условии не сказано об изменении объёма при смешивании.
Плотность сплава — отношение общей массы сплава к общему объёму: \(\rho=\frac{m}{V}\). Здесь \(\rho\) — плотность, \(m\) — масса, \(V\) — объём.
Если сплав состоит из компонентов, его общая масса равна сумме масс компонентов, а общий объём — сумме объёмов компонентов: \(m=m_1+m_2+\ldots\), \(V=V_1+V_2+\ldots\).
Для двух компонентов основная формула имеет вид:
Если плотности компонентов \(\rho_1\) и \(\rho_2\), а их массы \(m_1\) и \(m_2\), то объёмы находятся по формуле \(V=\frac{m}{\rho}\). Поэтому:
Если заданы массы компонентов
Такой способ встречается чаще всего. В условии обычно указаны массы металлов и их плотности. Алгоритм решения следующий:
- Перевести все величины в единицы СИ или выбрать согласованные единицы.
- Найти объём каждого компонента по формуле \(V_i=\frac{m_i}{\rho_i}\).
- Сложить массы: \(m=m_1+m_2\).
- Сложить объёмы: \(V=V_1+V_2\).
- Вычислить плотность сплава: \(\rho=\frac{m}{V}\).
Если массы и плотности даны в граммах и \(\text{г/см}^3\), можно не переводить их в килограммы и кубические метры: результат плотности получится в \(\text{г/см}^3\). Главное — использовать одну систему единиц во всём решении.
Массовая доля компонента сама по себе не является его массой. Если дана доля \(w_1\) и масса сплава \(m\), то \(m_1=w_1m\), а масса второго компонента равна \(m_2=(1-w_1)m\). Проценты перед подстановкой превращают в десятичную дробь: \(40\%=0{,}40\).
Сплав состоит из равных масс двух металлов с плотностями \(2\ \text{г/см}^3\) и \(6\ \text{г/см}^3\). Какой результат ближе всего к плотности сплава?
В микро-проверке правильным является последний вариант: \(\rho=\frac{m+m}{m/2+m/6}=3\ \text{г/см}^3\). Это показывает, что плотность сплава не всегда равна среднему арифметическому плотностей.
Если заданы объёмы компонентов
Когда известны объёмы \(V_1\) и \(V_2\) и плотности компонентов, сначала находят массы: \(m_1=\rho_1V_1\) и \(m_2=\rho_2V_2\). Затем используют определение плотности смеси.
Эта формула является средним значением плотностей с учётом объёмов. Компонент с большим объёмом сильнее влияет на плотность сплава. Если объёмы равны, плотность сплава равна среднему арифметическому плотностей компонентов.
1. Нельзя просто складывать плотности: \(\rho\ne\rho_1+\rho_2\). 2. Нельзя всегда брать среднее арифметическое: оно подходит только при равных объёмах. 3. При равных массах объёмы, как правило, не равны. 4. Нельзя складывать массу с объёмом. 5. Нужно проверить единицы: например, \(1\ \text{г/см}^3=1000\ \text{кг/м}^3\).
Разобранный пример: сплав по массам
Сплавили \(200\ \text{г}\) меди плотностью \(8\ \text{г/см}^3\) и \(300\ \text{г}\) алюминия плотностью \(3\ \text{г/см}^3\). Найдите плотность получившегося сплава. Считайте объёмы складывающимися.
Показать решение по шагам Решение
Ответ: плотность сплава равна \(4\ \text{г/см}^3\), или \(4000\ \text{кг/м}^3\).
Заметьте: результат \(4\ \text{г/см}^3\) меньше плотности меди и больше плотности алюминия. Это разумная проверка: плотность смеси компонентов без учёта сжатия обычно находится между наименьшей и наибольшей плотностями.
Проверка ответа и особые случаи
После вычислений полезно выполнить три проверки. Во-первых, единица ответа должна быть единицей плотности. Во-вторых, при положительных массах и объёмах плотность должна быть положительной. В-третьих, для обычного расчёта без изменения объёма плотность должна лежать между плотностями компонентов.
Плотность смеси — это не среднее плотностей «по названию компонентов», а отношение суммарной массы к суммарному объёму. Сначала определите, что дано: массы или объёмы.
В реальных сплавах объём после плавления и затвердевания может немного отличаться от суммы объёмов исходных металлов. В школьных задачах это обычно не учитывают, если отдельно не сказано иначе. Задачи, где подробно выводится формула для жидкостей, разобраны на странице вывода формулы плотности смеси жидкостей.
Быстрая проверка
Главное
- Плотность сплава равна \(\rho=\frac{m_{\text{общ}}}{V_{\text{общ}}}\).
- При заданных массах находят объёмы компонентов по формулам \(V_i=\frac{m_i}{\rho_i}\).
- При заданных объёмах находят массы по формулам \(m_i=\rho_iV_i\).
- Общие массу и объём складывают отдельно, а затем делят общую массу на общий объём.
- Не следует складывать плотности или безусловно брать их среднее арифметическое.
- Проверяйте единицы, порядок величины и попадание ответа между плотностями компонентов.