Нахождение пути по графику скорости
График зависимости скорости от времени позволяет найти, какое расстояние прошло тело. Главный приём темы: путь равен площади фигуры под графиком модуля скорости на выбранном промежутке времени.
Связь скорости, времени и пути
Скорость показывает, какой путь тело проходит за единицу времени. Если скорость постоянна, путь находится умножением скорости на время. Если скорость изменяется, за малые промежутки времени можно считать её почти постоянной; сумма таких произведений превращается в площадь под графиком скорости.
Путь \(s\) — длина траектории, пройденная телом. Это скалярная величина, поэтому путь не бывает отрицательным. Перемещение — направленный отрезок от начального положения к конечному. При движении вдоль одной прямой перемещение можно считать алгебраически: движение в выбранном положительном направлении даёт знак «плюс», в обратном — «минус».
На графике \(v(t)\) время откладывают по горизонтальной оси, а скорость — по вертикальной. Произведение \(v\cdot t\) имеет размерность метра, поэтому площадь под графиком можно измерять в квадратных единицах графика: \((\text{м/с})\cdot\text{с}=\text{м}\).
Если график показывает модуль скорости \(|v(t)|\), то путь за время от \(t_1\) до \(t_2\) равен площади фигуры между графиком, осью времени и вертикальными линиями \(t_1\) и \(t_2\).
В школьных задачах интеграл обычно заменяют площадями прямоугольников, треугольников и трапеций. Если скорость постоянна, получается прямоугольник. При равномерном изменении скорости график — наклонный отрезок, а площадь под ним — трапеция.
Как считать площадь под графиком
Сначала определите границы нужного промежутка времени. Затем разделите фигуру под графиком на простые части и найдите их площади. Важно не перепутать высоту фигуры со значением времени: по горизонтали читают секунды, по вертикали — метры в секунду.
- Прямоугольник: \(S=ab\), где \(a\) — время, \(b\) — скорость.
- Треугольник: \(S=\frac{1}{2}ah\).
- Трапеция: \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h\), где \(a\) и \(b\) — скорости, а \(h\) — промежуток времени.
- Несколько участков: путь равен сумме площадей всех частей.
Если график начинается или заканчивается на оси времени, часто получается треугольник. Если скорость изменяется от \(v_1\) до \(v_2\) за время \(\Delta t\), используйте среднюю скорость \(\frac{v_1+v_2}{2}\) и формулу \(s=\frac{v_1+v_2}{2}\Delta t\).
Знак скорости и выбор величины
Если график расположен выше оси времени, скорость положительна. Если он расположен ниже оси, скорость отрицательна: тело движется в направлении, противоположном выбранному положительному. Для перемещения площади над осью берут со знаком «плюс», а площади под осью — со знаком «минус».
Для пути знак не учитывают: площади складывают как положительные. Поэтому один и тот же график может дать разные ответы на вопросы о пути и перемещении. Если тело сначала движется вперёд, а затем возвращается, путь увеличивается, а перемещение может уменьшиться или стать равным нулю.
Нельзя просто сложить значения скорости и получить путь. Нужно умножить скорость на время, то есть найти площадь. Также нельзя считать отрицательную площадь отрицательным путём: отрицательное значение относится к перемещению, а не к пути.
График скорости — горизонтальный отрезок \(v=6\ \text{м/с}\) от \(t=0\) до \(t=4\ \text{с}\). Чему равен путь?
Разобранный пример
Тело движется вдоль прямой. За первые \(4\ \text{с}\) его скорость равномерно возрастает от \(0\) до \(8\ \text{м/с}\), а следующие \(3\ \text{с}\) остаётся равной \(8\ \text{м/с}\). Найдите путь за всё время движения.
Жауабы: \(40\ \text{м}\). Такой способ соответствует площади под графиком: треугольник и прямоугольник нужно сложить.
При равномерном изменении скорости можно воспользоваться формулой из темы равнопеременного движения: \(s=v_0t+\frac{at^2}{2}\). Но по графику часто быстрее считать площадь трапеции.
Алгоритм шешімдер тапсырма
- Прочитайте, что требуется найти: путь, перемещение или среднюю скорость.
- Проверьте единицы: время должно быть в секундах, скорость — в метрах в секунду.
- Отметьте на графике нужный промежуток времени.
- Разбейте площадь на прямоугольники, треугольники и трапеции.
- Для пути сложите модули площадей, для перемещения учтите их знаки.
- Запишите единицу ответа — метр или метр в секунду для средней скорости.
При чтении сложного графика полезно выписать координаты его вершин. Например, точка \((3;6)\) означает: в момент \(3\ \text{с}\) скорость равна \(6\ \text{м/с}\). Связь с графиками движения помогает правильно читать оси и участки графика.
1. Путают площадь треугольника с произведением основания на высоту и забывают множитель \(\frac{1}{2}\). 2. Берут всю площадь графика, хотя в условии указан только промежуток, например от \(2\) до \(5\ \text{с}\). 3. Используют график координаты вместо графика скорости: площадь под графиком \(x(t)\) путь не даёт.
Если график скорости построен для свободного падения или другого движения с ускорением, сначала выясните, что именно отложено по вертикали. Для ускорения площадь под графиком даёт изменение скорости, а не путь; в таких задачах пригодится страница об ускорении. Начальную скорость обозначают \(v_0\) — подробнее о ней можно прочитать на странице начальная скорость.
Средняя скорость по графику
Средняя скорость на всём промежутке определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени. Поэтому сначала находят площадь под графиком, затем делят её на длительность движения.
Для перемещения вместо пути используют алгебраическую величину перемещения. Это особенно важно, когда график пересекает ось времени. Если требуется именно средняя путевая скорость, ответ не может быть отрицательным.
Проверь себя
Главное
- Путь по графику скорости равен площади под графиком модуля скорости.
- Прямоугольник, треугольник и трапеция позволяют решать большинство школьных тапсырма.
- Путь складывает площади по модулю, а перемещение учитывает знак скорости.
- Следите за границами времени и единицами: \((\text{м/с})\cdot\text{с}=\text{м}\).
- Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени.