Формулы сферического зеркала
Формулы сферического зеркала связывают положение предмета и изображения с оптическими характеристиками зеркала: радиусом кривизны и фокусным расстоянием. Эти зависимости позволяют определить, где образуется изображение, каким оно будет и как изменится при перемещении предмета.
Основные понятия и обозначения
Сферическое зеркало — часть поверхности сферы, отражающая свет. Вогнутое зеркало отражает свет внутрь сферы, а выпуклое — наружу. Для построения изображений особенно важны главная оптическая ось, вершина зеркала, центр кривизны зеркала и фокус.
Радиус кривизны \(R\) — расстояние от вершины зеркала до центра сферы, частью которой является зеркальная поверхность. Фокус \(F\) — точка на главной оптической оси, в которой после отражения сходятся лучи, параллельные оси, или их продолжения. Фокусное расстояние \(f\) — расстояние от вершины зеркала до фокуса.
Для сферического зеркала при небольших углах падения лучей фокус находится примерно посередине между вершиной зеркала и центром кривизны. Поэтому фокус сферического зеркала связан с радиусом кривизны простым соотношением.
Для сферического зеркала фокусное расстояние в два раза меньше радиуса кривизны: \(f=R/2\). Следовательно, \(R=2f\). Это приближённое соотношение справедливо для параксиальных лучей — лучей, идущих близко к главной оптической оси.
Формула сферического зеркала
Пусть предмет находится на расстоянии \(d\) от вершины зеркала, а изображение — на расстоянии \(F\) от неё. Для вогнутого зеркала в школьных задачах обычно используют величины расстояний без знаков: \(d>0\), \(F>0\), \(f>0\). Тогда выполняется формула зеркала.
Из формулы можно найти любую неизвестную величину. Формулы для расстояния до изображения и до предмета имеют вид:
Если известны радиус кривизны и расстояние до предмета, сначала находят фокусное расстояние по формуле \(f=R/2\), а затем используют формулу зеркала. Все расстояния должны быть выражены в одних единицах, например в метрах или сантиметрах.
Две главные формулы темы: \(f=R/2\) и \(1/f=1/d+1/F\). Если предмет расположен далеко от зеркала, \(d\gg f\), то изображение образуется примерно в фокусе: \(F\approx f\).
Радиус кривизны вогнутого зеркала равен \(40\) см. Чему равно его фокусное расстояние?
Как определить положение изображения
Для решения задачи удобно действовать по алгоритму. Сначала выписать данные и привести их к одной системе единиц. Затем определить фокусное расстояние. После этого подставить известные величины в формулу зеркала и проверить, имеет ли ответ физический смысл.
- Найти \(f\) по радиусу кривизны, если дан \(R\).
- Записать формулу \(1/f=1/d+1/F\).
- Выразить неизвестное расстояние.
- Подставить числа и указать единицу измерения.
- Проверить результат: для предмета вне фокуса изображение должно находиться на конечном расстоянии от зеркала.
Если предмет приближается к фокусу с внешней стороны, расстояние до действительного изображения быстро возрастает. При \(d=2f\) изображение находится тоже на расстоянии \(2f\) и имеет такой же размер, как предмет.
Разобранный пример
Вогнутое зеркало имеет радиус кривизны \(R=60\) см. Предмет находится на расстоянии \(d=90\) см от зеркала. Найдём расстояние \(F\) до изображения.
Ответ: изображение образуется на расстоянии \(45\) см от зеркала. Проверка: предмет расположен дальше центра кривизны, потому что \(90\text{ см}>60\text{ см}\). Поэтому изображение должно находиться между фокусом и центром кривизны: \(30\text{ см}<45\text{ см}<60\text{ см\).} Это согласуется с результатом.
Особые положения предмета
| Положение предмета | Положение изображения | Свойства изображения |
|---|---|---|
| Дальше центра кривизны, \(d>2f\) | Между \(f\) и \(2f\) | Действительное, перевёрнутое, уменьшенное |
| В центре кривизны, \(d=2f\) | В центре кривизны, \(F=2f\) | Действительное, перевёрнутое, равное предмету |
| Между центром и фокусом, \(f<d<2f\) | Дальше \(2f\) | Действительное, перевёрнутое, увеличенное |
| В фокусе, \(d=f\) | На бесконечности | Отражённые лучи параллельны |
| Между зеркалом и фокусом, \(d<f\) | За зеркалом при продолжении лучей | Мнимое, прямое, увеличенное |
Выпуклое зеркало всегда даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение. В школьных задачах для него часто применяют знаковую форму формулы, где фокусное расстояние и расстояние до мнимого изображения считаются отрицательными. Если знаковая convention не указана, нужно внимательно прочитать условие и рисунок.
1. Путают \(R\) и \(f\): радиус кривизны в два раза больше фокусного расстояния. 2. Подставляют сантиметры и метры одновременно. 3. Используют \(F=d-f\) вместо правильного выражения \(F=df/(d-f)\). 4. Забывают, что при \(d=f\) знаменатель формулы для \(F\) равен нулю: изображение уходит на бесконечность. 5. Называют изображение действительным только по знаку числа, не учитывая ход лучей и тип зеркала.
Знаковая форма и границы применимости
В более подробном курсе оптики расстояния могут быть направленными. Тогда знак зависит от выбранного направления оси и от того, является изображение действительным или мнимым. В школьных расчётных задачах важно прежде всего придерживаться соглашения, указанного в условии. Для небольших апертур и лучей около главной оси формула \(f=R/2\) хорошо приближает реальное положение фокуса.
Формула зеркала относится к параксиальным лучам и идеализированному сферическому зеркалу. Для широких пучков лучи, удалённые от оси, могут пересекаться не в одной точке: это связано со сферической аберрацией. В типовых экзаменационных задачах этим эффектом обычно пренебрегают.
Итоговая проверка
Главное
- Фокусное расстояние сферического зеркала равно половине радиуса кривизны: \(f=R/2\).
- Положение изображения определяется формулой \(1/f=1/d+1/F\).
- Расстояние до изображения: \(F=df/(d-f)\). При \(d=f\) изображение находится на бесконечности.
- При \(d=2f\) предмет и изображение находятся на одинаковом расстоянии от зеркала.
- Перед решением нужно выбрать единицы измерения, учитывать тип зеркала и проверить физический смысл ответа.