Задачи на первый закон термодинамики
Задачи на первый закон термодинамики решают по одной логике: выясняют, какое количество теплоты получил или отдал газ, какую работу он совершил и как изменилась его внутренняя энергия. Перед решением полезно повторить работу газа и внутреннюю энергию, а затем выбрать знаки и уравнение процесса.
Первый закон термодинамики и знаки величин
Рассмотрим газ как термодинамическую систему. Количество теплоты \(Q\) положительно, если газ получает энергию при нагревании, и отрицательно, если газ отдаёт энергию при охлаждении. Работа газа \(A\) положительна при расширении: газ действует на поршень и передаёт ему энергию. При сжатии работа газа отрицательна.
Изменение внутренней энергии системы равно количеству теплоты, переданному системе, минус работу, совершённую системой над внешними телами: \(\Delta U=Q-A\). Здесь \(\Delta U=U_2-U_1\), \(Q\) и \(A\) измеряются в джоулях.
Иногда используют другую договорённость: \(A_{\text{внеш}}\) — работа внешних сил над газом. Тогда \(\Delta U=Q+A_{\text{внеш}}\). Обе записи равнозначны, поскольку \(A_{\text{внеш}}=-A\). В одной задаче нельзя смешивать эти соглашения.
Для газа: \(Q>0\) — нагревание, \(Q<0\) — охлаждение; \(A>0\) — расширение, \(A<0\) — сжатие. Если \(Q>A\), внутренняя энергия увеличивается; если \(Q<A\), она уменьшается.
Алгоритм решения задач
В условии сначала определите начальное и конечное состояния, вид процесса и выбранное тело. Затем выпишите известные величины в СИ. Полезно отдельно указать знаки \(Q\), \(A\) и \(\Delta U\), даже если численные значения ещё неизвестны.
- Нарисуйте схему процесса или отметьте начальное и конечное состояния на диаграмме.
- Определите работу газа. При постоянном давлении используйте \(A=p(V_2-V_1)\); на p-V-диаграмме работа равна площади под графиком процесса.
- Найдите количество теплоты: для нагревания тела \(Q=cm\Delta T\), для плавления \(Q=\lambda m\), для парообразования \(Q=rm\).
- Запишите первый закон термодинамики \(\Delta U=Q-A\) и подставьте величины со знаками.
- Проверьте результат: единицы должны быть джоулями, а физический смысл — соответствовать процессу.
Если газ идеальный, изменение его внутренней энергии зависит только от температуры. Поэтому при одинаковой температуре в начале и конце процесса \(\Delta U=0\), даже если газ совершил ненулевую работу. Подробные случаи рассмотрены на странице изменение внутренней энергии.
| Процесс | Условие | Следствие из первого закона |
|---|---|---|
| Изохорный | \(V=const\), \(A=0\) | \(Q=\Delta U\) |
| Изобарный | \(p=const\) | \(Q=\Delta U+A\) |
| Изотермический для идеального газа | \(T=const\), \(\Delta U=0\) | \(Q=A\) |
| Адиабатный | \(Q=0\) | \(\Delta U=-A\) |
Теплообмен и специальные процессы
В изохорном процессе объём не меняется, поэтому работа газа равна нулю. Всё полученное тепло идёт на изменение внутренней энергии: \(Q=\Delta U\). Такой процесс часто встречается в сосуде с жёсткими стенками.
В изобарном процессе давление постоянно. Если газ нагревают, он расширяется и совершает положительную работу. Полученное тепло расходуется и на увеличение внутренней энергии, и на работу: \(Q=\Delta U+A\). Для идеального газа работу находят через изменение объёма.
В изотермическом процессе идеального газа температура постоянна, значит, \(\Delta U=0\). Поэтому всё тепло превращается в работу газа: \(Q=A\). При расширении газ получает тепло, а при сжатии тепло обычно отводится.
В адиабатном процессе теплообмена с окружающей средой нет: \(Q=0\). При расширении \(A>0\), поэтому \(\Delta U=-A<0\): газ охлаждается. При сжатии \(A<0\), внутренняя энергия увеличивается.
Газ расширяется изохорно и получает от нагревателя \(500\) Дж. Чему равна работа газа?
Разобранный пример: нагревание газа при постоянном давлении
Газ массой \(m=0{,}20\) кг нагревают при постоянном давлении \(p=2{,}0\cdot10^5\) Па. Его объём увеличился от \(V_1=1{,}0\cdot10^{-3}\) м³ до \(V_2=3{,}0\cdot10^{-3}\) м³. Газ получил количество теплоты \(Q=1{,}2\cdot10^3\) Дж. Найдите работу газа и изменение его внутренней энергии.
Показать решение Решение
Ответ: \(A=400\) Дж, \(\Delta U=800\) Дж. Большая часть энергии нагревателя пошла на увеличение внутренней энергии, а \(400\) Дж — на перемещение поршня.
Составные задачи и калориметрия
В задачах с несколькими телами составляют баланс энергии. Если система теплоизолирована, суммарное количество переданной теплоты равно нулю: тело, которое остывает, отдаёт столько энергии, сколько получают нагревающиеся тела. Это основа калориметрических задач.
Для нагревания или охлаждения используют \(Q=cm(T_2-T_1)\). Если температура уменьшается, формула сама даст отрицательное значение. При фазовом переходе добавляют скрытую теплоту: \(Q=\lambda m\) для плавления и \(Q=rm\) для парообразования. Если газ одновременно получает тепло и совершает работу, их вклад учитывают в первом законе, а не в одном только калориметрическом балансе.
1. Подставляют в \(A=p\Delta V\) объём в литрах: сначала переведите его в м³. 2. Считают работу положительной при сжатии: при сжатии \(\Delta V<0\), поэтому \(A<0\). 3. Пишут \(\Delta U=Q+A\), хотя используют работу газа, а не работу внешних сил. 4. Забывают, что для идеального газа в изотермическом процессе \(\Delta U=0\). 5. Смешивают градусы Цельсия и кельвины: для разности температур численно \(\Delta T\) одинакова, но в формулах состояния нужна температура в кельвинах.
Сравните знаки: расширение должно давать \(A>0\), нагревание — обычно \(Q>0\). Если газ получил тепло и работа меньше этого тепла, то \(\Delta U>0\). Если получилось противоположное, проверьте знак или единицы.
Связь с графиками и работой над газом
На p-V-диаграмме горизонтальная ось показывает объём, вертикальная — давление. Работа газа равна площади под линией процесса с учётом знака: движение вправо означает расширение и положительную работу, движение влево — сжатие и отрицательную. Если внешние силы сжимают газ, удобно перейти к понятию работы над газом: она имеет знак, противоположный работе газа.
При сравнении двух процессов между одними и теми же состояниями изменение внутренней энергии зависит только от начальной и конечной температур, а работа и количество теплоты зависят от пути. Поэтому разные процессы могут иметь разные \(Q\) и \(A\), но одинаковое \(\Delta U\).
Итоговая проверка
Главное
- Первый закон термодинамики в записи для работы газа: \(\Delta U=Q-A\).
- Работа при постоянном давлении: \(A=p(V_2-V_1)\); на p-V-диаграмме она соответствует площади под графиком.
- Для изохорного процесса \(A=0\), для изотермического идеального газа \(\Delta U=0\), для адиабатного процесса \(Q=0\).
- Всегда фиксируйте знаки количества теплоты и работы и переводите величины в единицы СИ.
- В составных задачах разделяйте теплообмен, работу и изменение внутренней энергии, а затем объединяйте их первым законом.