Задачи на электрическое поле
Электрическое поле действует на заряды с силой. В задачах нужно научиться связывать силу, напряжённость, потенциал, напряжение и работу поля, правильно выбирать формулу, выражать из неё неизвестную величину и проверять единицы измерения.
1. Основные величины электрического поля
Электрическое поле существует вокруг электрических зарядов. Его действие на пробный положительный заряд характеризуют напряжённостью электрического поля. Направление вектора напряжённости совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд: от положительного заряда поле направлено наружу, к отрицательному — внутрь.
Напряжённость \(\vec E\) — физическая величина, равная отношению силы \(\vec F\), действующей на пробный заряд, к величине этого заряда \(q\).
Из основной формулы можно выразить силу и заряд: \(F=Eq\), \(q=\frac{F}{E}\). Если поле создаётся точечным зарядом \(Q\), то напряжённость на расстоянии \(r\) определяется законом Кулона.
Для нескольких зарядов применяют принцип суперпозиции электрических полей: напряжённость результирующего поля равна векторной сумме напряжённостей, создаваемых каждым зарядом. На одной прямой векторы складывают с учётом направлений, а противоположно направленные — вычитают.
В однородном поле напряжённость одинакова во всех точках. Между параллельными пластинами при пренебрежимо малом влиянии краёв выполняется \(E=\frac{U}{d}\), где \(d\) — расстояние между пластинами.
2. Потенциал и напряжение
Электрический потенциал точки поля показывает, какой потенциальной энергией обладал бы единичный положительный заряд в этой точке. Потенциал — скалярная величина, поэтому при работе с ним не нужно складывать направления как у векторов.
Здесь \(W_{\text{п}}\) — потенциальная энергия заряда \(q\). Потенциал точечного заряда, если нулевой потенциал выбран на бесконечности, равен:
Знак потенциала совпадает со знаком заряда-источника. Потенциал положительного заряда положителен, а отрицательного — отрицателен.
Напряжение между двумя точками — это разность их потенциалов. Если заряд перемещается из точки 1 в точку 2, то \(U_{12}=\varphi_1-\varphi_2\).
Напряжение \(U_{12}\) показывает, какую работу совершает поле при перемещении заряда \(q\) из точки 1 в точку 2 в расчёте на единичный заряд.
При перемещении положительного заряда по направлению поля потенциал уменьшается, поэтому работа поля положительна. При движении против поля работа поля отрицательна. Для отрицательного заряда направление силы противоположно направлению вектора напряжённости.
В однородном поле напряжённостью \(200\ \text{В/м}\) расстояние между точками равно \(0{,}3\ \text{м}\). Чему равно напряжение по модулю?
3. Работа электрического поля
В электростатическом поле работа не зависит от формы траектории, а зависит только от начальной и конечной точек. Это свойство называют потенциальностью поля. Подробнее связь работы с изменением энергии разобрана на странице «Работа электрического поля».
В однородном поле, если заряд перемещается вдоль силовой линии на расстояние \(d\), можно использовать \(A=qEd\). В общем случае, когда перемещение образует угол \(\alpha\) с направлением поля, работа равна работе постоянной силы вдоль перемещения.
Если сила и перемещение направлены одинаково, \(A>0\). Если они перпендикулярны, \(A=0\). Если направлены противоположно, \(A<0\).
4. Универсальный алгоритм решения
- Выпишите, что дано, и переведите все величины в СИ: микрокулоны — в кулоны, сантиметры — в метры.
- Определите, о какой величине спрашивают: \(E\), \(F\), \(U\), \(\varphi\) или \(A\).
- Выберите физический закон. Для силы используйте \(F=qE\), для точечного заряда — \(E=k\frac{|Q|}{r^2}\), для однородного поля — \(U=Ed\).
- Выразите неизвестную величину. Если формула содержит дробь, сначала умножьте обе части на знаменатель, затем разделите на оставшийся множитель.
- Подставьте числа с единицами измерения, вычислите ответ и проверьте его размерность.
- Если величины имеют направления, отдельно определите знак или сложите векторы по правилу суперпозиции.
Чтобы выразить множитель из произведения \(A=BC\), разделите обе части на другой множитель: \(B=\frac{A}{C}\). Чтобы выразить делитель из \(A=\frac{B}{C}\), умножьте на \(C\): \(C=\frac{B}{A}\). Выполняйте одинаковое действие с обеими частями равенства.
5. Разобранный пример
Заряд \(q=4\ \text{мкКл}\) переместили в однородном электрическом поле на расстояние \(d=0{,}5\ \text{м}\) вдоль силовой линии. При этом поле совершило работу \(A=0{,}012\ \text{Дж}\). Найдите напряжённость поля и напряжение между точками.
Ответ: \(E=6000\ \text{Н/Кл}\), \(U=3000\ \text{В}\). Так как заряд положительный и перемещается вдоль поля, работа положительна.
6. Частые ошибки и дополнительные связи
1) Путают заряд поля-источника \(Q\) и пробный заряд \(q\). В формуле \(E=k\frac{|Q|}{r^2}\) используется источник, а в \(F=qE\) — заряд, на который действует поле. 2) Не переводят сантиметры и микрокулоны в СИ. 3) Забывают квадрат расстояния в законе Кулона. 4) Складывают модули напряжённостей без учёта направлений. 5) Используют \(U=Ed\) в неоднородном поле без дополнительных условий. 6) Теряют знак работы при движении против поля.
В задачах о металлических телах полезно помнить свойства электростатического равновесия: внутри проводника в равновесии поле равно нулю, а поверхность проводника является эквипотенциальной. В задачах с диэлектриками учитывают поляризацию диэлектрика, которая изменяет поле внутри вещества. Для задач с пластинами конденсатора пригодятся страницы «Конденсатор» и «Плоский конденсатор».
Итоговая проверка
Главное
- Напряжённость определяется формулой \(E=F/q\); для точечного заряда \(E=k|Q|/r^2\).
- Потенциал — скалярная величина: \(\varphi=W_{\text{п}}/q\), а потенциал точечного заряда равен \(kQ/r\).
- Напряжение — разность потенциалов: \(U_{12}=\varphi_1-\varphi_2\).
- Работа поля вычисляется по формулам \(A=qU\), \(A=qEd\) или \(A=qEs\cos\alpha\) в зависимости от условий.
- Перед подстановкой чисел переводите величины в СИ, учитывайте направления и проверяйте единицы ответа.