Давление в сообщающихся сосудах
В сообщающихся сосудах жидкость после установления равновесия занимает такие положения, при которых давление на одном горизонтальном уровне одинаково. Для одинаковой жидкости открытые сосуды имеют одинаковые уровни, а для разных жидкостей высоты столбов зависят от их плотностей.
Основная идея сообщающихся сосудов
Сообщающиеся сосуды — это сосуды, соединённые в нижней части каналом, по которому жидкость может перетекать. К ним относятся U-образная трубка, сосуды разной формы и системы с несколькими коленами. Если жидкость покоится, перетекание прекращается тогда, когда давление в соединяющей части уравновешено.
Система сосудов, соединённых между собой так, что жидкость может свободно перемещаться из одного сосуда в другой. При равновесии давление на одном и том же горизонтальном уровне внутри одной и той же жидкости одинаково.
Если сосуды открыты, на свободную поверхность жидкости действует атмосферное давление. Поэтому при одинаковой жидкости атмосферное давление с обеих сторон одинаково и в сравнении сокращается. Форма и площадь сосудов не определяют конечный уровень: важны плотность жидкости, высота столба и давление над поверхностью.
Давление внутри покоящейся жидкости
Давление жидкости складывается из давления на её свободную поверхность и давления, создаваемого весом столба жидкости. Эта зависимость изучается в теме гидростатического давления. Если поверхность открыта, внешнее давление равно атмосферному.
Здесь \(p\) — давление на глубине \(h\), \(p_0\) — давление на поверхности, \(\rho\) — плотность жидкости, \(g\) — ускорение свободного падения. Для двух точек, находящихся на одной горизонтали в одной непрерывной жидкости, \(h\) и давление поверхности сравниваются так, что давления равны.
В покоящейся однородной жидкости давление на всех точках одного горизонтального уровня одинаково. В сообщающихся сосудах именно это правило позволяет приравнивать давления на уровне соединения или на любой общей горизонтали.
Для открытых сосудов с одной жидкостью на общей горизонтали получаем \(p_1=p_2\). Давление над поверхностями одинаково, плотность также одинакова, поэтому высоты столбов равны:
Это утверждение справедливо, если жидкость однородна, сосуды открыты или над поверхностями действуют одинаковые давления, а система находится в равновесии.
Одинаковая и разная жидкость
Если в сообщающихся сосудах находятся разные несмешивающиеся жидкости, равенство высот обычно нарушается. На одном уровне в нижней части давление с обеих сторон должно быть одинаковым. Поэтому более плотная жидкость создаёт такое же давление в более коротком столбе, а менее плотная — в более высоком.
Последняя формула применяется, когда обе поверхности открыты и отсчёт высот ведётся от одного уровня раздела жидкостей. Если над поверхностями действуют разные давления, нужно учитывать их:
При одинаковом внешнем давлении \(p_1=p_2\) оно сокращается. Обратите внимание: сравнивать нужно давления на одном уровне, а не просто давления у свободных поверхностей.
В двух открытых сообщающихся сосудах находится одна и та же жидкость. Один сосуд широкий, другой узкий. Каким будет результат после установления равновесия?
Разобранный пример: две жидкости в U-образной трубке
В левом колене U-образной трубки находится вода плотностью \(\rho_1=1000\ \text{кг/м}^3\), в правом — масло плотностью \(\rho_2=800\ \text{кг/м}^3\). Высота столба масла от уровня раздела жидкостей до его свободной поверхности равна \(h_2=25\ \text{см}\). Найдите высоту столба воды \(h_1\) над тем же уровнем.
Ответ: высота столба воды равна \(20\ \text{см}\). Вода плотнее масла, поэтому её столб оказался ниже: для создания одинакового давления ему нужна меньшая высота.
Алгоритм решения задач
- Определите, соединены ли сосуды и находится ли система в равновесии.
- Отметьте общий горизонтальный уровень, обычно уровень раздела жидкостей или дно соединяющей трубки.
- Запишите давление слева и справа по формуле \(p=p_0+\rho gh\).
- Учтите давление над каждой свободной поверхностью: атмосферное, одинаковое внешнее или заданное отдельно.
- Приравняйте давления на выбранном уровне и сократите одинаковые множители.
- Проверьте ответ: более плотной жидкости соответствует меньшая высота столба при одинаковом внешнем давлении.
1. Сравнивать уровни разных жидкостей без учёта плотности. 2. Приравнивать давления в точках, расположенных на разных горизонталях. 3. Забывать атмосферное давление при разных давлениях над поверхностями. 4. Подставлять сантиметры вместо метров. 5. Считать, что широкий сосуд обязательно имеет более низкий или высокий уровень: площадь влияет на объём, но не на условие равновесия.
При одинаковом давлении над поверхностями произведения \(\rho h\) должны совпадать. Если одна жидкость плотнее другой, её столб должен быть ниже. Если ваш ответ нарушает это правило, проверьте выбранный уровень и единицы измерения.
Связь с другими понятиями
Для решения задач сначала полезно повторить гидростатическое давление. Если в условии спрашивают только добавочное давление столба, пригодится понятие избыточного давления: \(p_{\text{изб}}=\rho gh\). Случай двух несмешивающихся жидкостей подробно выражается через уравнение равновесия двух жидкостей. Не смешивайте эти задачи с задачами о движущейся жидкости, где рассматриваются поток жидкости и расход.
Проверь себя
Главное
- В равновесии давление на одном горизонтальном уровне в одной непрерывной жидкости одинаково.
- Для одинаковой жидкости в открытых сообщающихся сосудах уровни совпадают: \(h_1=h_2\).
- Для разных жидкостей при одинаковом внешнем давлении выполняется \(\rho_1h_1=\rho_2h_2\).
- Более плотной жидкости соответствует меньшая высота столба.
- Решение начинают с выбора общего горизонтального уровня и записи давлений по формуле \(p=p_0+\rho gh\).