Свойство нулевого произведения
Свойство нулевого произведения утверждает: если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из этих множителей равен нулю. Это свойство помогает решать уравнения после [[factorization-methods:разложения на множители]].
Формулировка
Если \(A\cdot B=0\), то \(A=0\) или \(B=0\). Для произведения трёх множителей: если \(A\cdot B\cdot C=0\), то \(A=0\), или \(B=0\), или \(C=0\).
При решении уравнения сначала стараются представить его левую часть в виде произведения. Для этого используют [[factoring-by-formulas:разложение на множители по формулам]], вынесение общего множителя или разложение квадратного трёхчлена. Затем каждый множитель приравнивают к нулю и объединяют найденные корни.
Решим уравнение \(x^2-5x=0\). Вынесем общий множитель: \(x(x-5)=0\). По свойству нулевого произведения \(x=0\) или \(x-5=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=5\).
Свойство применяют только к произведению, равному нулю. Из равенства \(A+B=0\) нельзя сделать вывод, что \(A=0\) или \(B=0\). Например, \(3+(-3)=0\), но оба слагаемых нулю не равны. Также нельзя без проверки делить уравнение на выражение, которое может быть равно нулю: так можно потерять корень.
Какие решения имеет уравнение \((x+2)(x-7)=0\)?
Главное
- Если произведение равно нулю, хотя бы один множитель равен нулю.
- Для решения уравнения разложите выражение на множители и приравняйте каждый множитель к нулю.
- Свойство не распространяется на сумму: из \(A+B=0\) не следует \(A=0\) или \(B=0\).