Угол

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной общей точки, называемой вершиной. Лучи называются сторонами угла, а общая точка — вершиной. Угол служит для описания поворота одного луча относительно другого и является одной из базовых величин в планиметрии и стереометрии. Изучение углов включает классификацию по величине, понятия смежных и вертикальных углов, а также понятия ориентированного угла при изучении поворота вектора или при работе с тригонометрией.

Величина угла измеряется обычно в градусах или радианах; переход между ними осуществляется по формуле \(\varphi_{\mathrm{rad}} = \varphi_{\mathrm{deg}} \cdot \dfrac{\pi}{180}\). Для вычисления угла между двумя векторами используют скалярное произведение, что даёт соотношение \(\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}\), позволяющее найти косинус угла по компонентам векторов. В школьной геометрии важное место занимает свойство суммы углов треугольника: сумма внутренних углов равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). Помимо численных значений, углы применяют при построениях, при вычислении площадей фигур, в решении задач на подобие и при исследовании симметрии.

На практике понятие угла встречается не только в чистой геометрии, но и в физике, инженерии, черчении и компьютерной графике: угол определяет ориентацию объектов, направление движения и повороты, используется при описании фазовых сдвигов и поворотах координат. В задачах могут понадобиться приёмы сложения и вычитания углов, деления угла пополам и построения углов заданной величины. Для наглядности и закрепления представления о разных типах углов (острый, прямой, тупой, развёрнутый, рефлексный и полный) часто приводят схемы и примеры рисунков.