Симметричное множество
Симметричное множество — это множество точек, которое остаётся неизменным при отражении относительно заданной точки (центра симметрии). Формально, для множества S и центра a правило симметричности можно записать так: \(x \in S \Rightarrow 2a - x \in S\). Эквивалентная формулировка удобна для работы с операторами преобразования: множество симметрично относительно точки a тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим образом при отражении, то есть \(S = \{2a - x:\; x \in S\}\).
Понятие симметричного множества встречается в разных разделах школьной математики: в геометрии при описании фигур на плоскости, в теории множеств при изучении отображений и в алгебре при рассмотрении чётных или нечётных функций (их графики симметричны относительно оси). Для центра, совпадающего с началом координат, условие принимает более простой вид: \(x \in S \Rightarrow -x \in S\). Свойства симметричных множеств включают инвариантность при двухкратном отражении (две симметрии относительно одной и той же точки дают тождественное преобразование), а также то, что пересечение и объединение любых множеств, симметричных относительно одной и той же точки, снова симметричны относительно этой точки.
Примеры. 1) Отрезок, центрированный в точке a с радиусом d, является симметричным: \([a-d,\; a+d]\) (на числовой прямой это отрезок от a−d до a+d). 2) На плоскости окружность с центром в точке (a,b) и радиусом r симметрична относительно этой точки: \(\{(x,y):\; (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\}\) (все точки окружности отражаются в её центре в сами себя как множество). 3) Конечные множества тоже могут быть симметричными: если среди элементов присутствуют пары точек x и 2a−x, то такое множество симметрично относительно a.