Рекуррентное соотношение
Рекуррентное соотношение — это правило, по которому каждый член последовательности находят через один или несколько предыдущих членов. Чтобы начать вычисления, дополнительно задают один или несколько начальных членов.
Как это записывают
Обычно рекуррентное соотношение имеет вид \(a_{n+1}=f(a_n)\) или использует несколько предыдущих членов, например \(a_{n+2}=f(a_{n+1},a_n)\). Начальное условие указывает, с какого значения начинаются вычисления: например, \(a_1=3\). Если в правой части используются два предыдущих члена, нужны два начальных условия.
В отличие от задания последовательности формулой, где \(a_n\) сразу выражают через номер \(n\), рекуррентное соотношение требует последовательных вычислений. Оно описывает переход от известных членов к следующим.
Пусть \(a_1=2\), а \(a_{n+1}=a_n+3\). Тогда \(a_2=2+3=5\), \(a_3=5+3=8\), \(a_4=8+3=11\). Получаем последовательность \(2,5,8,11,\ldots\). Это также арифметическая прогрессия с разностью \(3\).
Рекуррентное соотношение — не просто список первых членов и не формула общего члена. Например, запись \(a_1=2\), \(a_2=5\), \(a_3=8\) задаёт только несколько значений, но не правило продолжения. А формула \(a_n=3n-1\) позволяет сразу найти любой член без вычисления предыдущих.
Дано \(a_1=4\) и \(a_{n+1}=2a_n-1\). Чему равен \(a_3\)?
Главное
- Рекуррентное соотношение выражает следующий член через предыдущие.
- Для вычислений нужны начальные условия — один или несколько первых членов.
- Чтобы найти дальний член, последовательно применяют правило; это отличается от задания последовательности формулой общего члена.