Показательные неравенства с разными основаниями
Показательные неравенства с разными основаниями решают прежде всего с помощью сравнения оснований с единицей и приведения их к общему основанию. Главное правило: при основании больше 1 знак сохраняется, а при основании от 0 до 1 меняется на противоположный.
Основное правило
Показательная функция \(a^x\) возрастает при \(a>1\) и убывает при \(0<a<1\). Поэтому при сравнении степеней с одинаковым основанием знак зависит от основания. Эти свойства являются частью темы показательные неравенства.
Если основания разные, их стараются представить как степени одного числа: \(4^x=(2^2)^x=2^{2x}\), а \(\frac{1}{9}=3^{-2}\). Иногда полезна замена переменной, но для простого сравнения она не требуется.
Решим \(4^x>8\). Представим обе части через основание \(2\): \(2^{2x}>2^3\). Основание \(2>1\), поэтому знак сохраняется: \(2x>3\), откуда \(x>\frac{3}{2}\).
Нельзя автоматически сохранять знак неравенства. Например, при основании \(\frac{1}{2}\) функция убывает: \(\left(\frac12\right)^u>\left(\frac12\right)^v\) означает \(u<v\). Это не связано с иррациональными неравенствами, где главная трудность возникает из-за корней.
Решите неравенство \(\left(\frac{1}{3}\right)^x\le\left(\frac{1}{3}\right)^4\).
Главное
- При \(a>1\) показательная функция возрастает, поэтому знак при сравнении показателей сохраняется.
- При \(0<a<1\) функция убывает, поэтому знак меняется на противоположный.
- Разные основания по возможности приводят к одному основанию; затем сравнивают показатели.