Ось симметрии
Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура или график функции отображаются сами в себя при зеркальном отражении. Если фигура обладает осью симметрии, то каждой точке на одной стороне оси соответствует ровно одна точка на другой стороне, причём ось проходит через середины соответствующих отрезков и всегда перпендикулярна этим отрезкам. В координатной плоскости прямая, задающая ось симметрии, обычно задаётся общим уравнением \(ax + by + c = 0\), где a и b не одновременно равны нулю, а коэффициенты a, b, c определяют положение и наклон оси.
Практическое значение понятия оси симметрии широко: оно используется при решении задач на геометрические преобразования (отражения), при анализе графиков функций (чётные функции имеют симметрию относительно оси ординат), а также при построении чертежей и симметричных конструкций в прикладной геометрии. Для проверки симметрии двух точек A(x1,y1) и A''(x2,y2) относительно прямой достаточно проверить два свойства: середина отрезка AA'' лежит на оси, и отрезок AA'' перпендикулярен этой оси. Первая из этих условий алгебраически записывается как \(a\dfrac{x_1+x_2}{2} + b\dfrac{y_1+y_2}{2} + c = 0\).
Пример 1. Пусть дана прямая-ось L и две точки A и A''. Чтобы убедиться, что A'' — образ A при отражении относительно L, проверим условия. Сначала вычисляем середину M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2) и подставляем в уравнение оси — это даёт условие \(a\dfrac{x_1+x_2}{2} + b\dfrac{y_1+y_2}{2} + c = 0\). Затем проверяем перпендикулярность отрезка AA'' и оси — это даёт условие \((x_2-x_1)(-b) + (y_2-y_1)a = 0\). Если оба равенства выполняются, точки симметричны относительно L.
Пример 2. Регулярные многоугольники, такие как равносторонний треугольник, квадрат или правильный шестиугольник, имеют оси симметрии: их количество и расположение зависят от типа многоугольника. У квадрата, например, есть четыре оси симметрии — две диагонали и две середины противоположных сторон. Эти оси проходят через центры фигур и разбивают их на зеркально равные части.