Многоугольник

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, образованная замкнутой ломаной из конечного числа непересекающихся отрезков. Отрезки называются сторонами, их концы — вершинами. Простые многоугольники не имеют самопересечений; среди них выделяют выпуклые (все внутренние углы меньше или равны 180° и любая отрезок между двумя точками внутри фигуры полностью принадлежит ей) и вогнутые (имеются углы больше 180°). Часто при изучении многоугольников используют обозначение n — число сторон (и вершин), что позволяет формулировать общие свойства и выводить формулы для углов, диагоналей и площадей.

К важнейшим свойствам многоугольников относятся сумма внутренних углов и число диагоналей. Сумма внутренних углов любого n-угольника вычисляется по формуле. Количество диагоналей равно \(\frac{n(n-3)}{2}\) — это следует из того, что из каждой вершины можно провести диагональ в (n−3) другие вершины, считая все пары и деля на 2 для исключения двойного счёта. У выпуклого правильного n-угольника (все стороны и все углы равны) каждый внутренний угол равен. Площадь правильного многоугольника удобно выражать через апофему (apothem) a и периметр P как \(\frac{1}{2}aP\), или через длину стороны s и число сторон n: \(\frac{1}{4}ns^2\cot\frac{\pi}{n}\). Сумма внешних углов любого простого многоугольника при обходе по периметру равна.

Многоугольники находят широкое применение: в компьютерной графике и триангуляции поверхности, в картографии и геоинформационных системах при представлении областей, в архитектуре и инженерии при проектировании форм и фасадов, а также в задачах комбинаторики и теории графов. Понимание основных формул позволяет быстро получать количественные характеристики фигур и переходить к более сложным построениям и доказательствам. Ниже приведены простые конкретные примеры для наглядности.