Краткая сводка основных формул

Алгебраические уравнения и правила работы с выражениями

Важнейшие базовые уравнения — это линейное и квадратное уравнения. Линейное уравнение общего вида задаётся как \(x = -\dfrac{b}{a}\). Его решение даётся формулой \(ax^2 + bx + c = 0\) и используется повсеместно при решении простых задач на неизвестное.

Квадратное уравнение общего вида записывается как \(\Delta = b^2 - 4ac\). Для его анализа вводят дискриминант, который равен \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\). Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), а сумма и произведение корней выражаются через коэффициенты как \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\) и \(a^m a^n = a^{m+n}\) соответственно.

Показатели, степени и формулы сокращённого умножения

Правила работы со степенями позволяют упрощать выражения. Основные тождества: умножение степеней с одинаковой основанием задаётся как \((a^m)^n = a^{mn}\), возведение степени в степень как \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Эти правила помогают сокращать выражения и упрощать вычисления.

Формулы сокращённого умножения дают стандартные разложения для квадратов и произведений. Наиболее часто используемая из них — квадрат суммы: \(c^2 = a^2 + b^2\). Знание этих формул упрощает раскрытие скобок и факторизацию многочленов.

Планиметрия: треугольники, окружности, площади и объёмы

Одно из ключевых утверждений в прямоугольном треугольнике — теорема Пифагора. Для сторон прямоугольного треугольника справедливо соотношение \(S = \tfrac{1}{2} a b \sin C\). Это соотношение часто используется при доказательствах и при вычислении длин.

Площадь треугольника можно вычислить стандартной формулой через основание и высоту, а также через две стороны и синус угла между ними: \(C = 2\pi r\) и \(S = \tfrac{1}{2} \text{base} \cdot \text{height}\) соответственно. Для окружности применимы формулы длины и площади: \(S = \pi r^2\) и \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\).

Формулы объёмов тел вращения и простых геометрических тел часто встречаются в задачах: объём шара задаётся формулой \(V = \pi r^2 h\), цилиндра — \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\), конуса — \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Эти формулы полезны при решении задач на площади поверхности и объёма.

Тригонометрия: основные тождества и формулы

Базовые тождества тригонометрии позволяют переходить между функциями и упрощать выражения. Самое известное тождество — квадрат синуса и косинуса: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\). Тангенс через синус и косинус выражается формулой \(\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\).

Формулы суммы и разности аргументов полезны при преобразовании выражений: для синуса и косинуса справедливы тождества \(\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\) и \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\). В задачах на треугольники часто применяют теорему синусов и теорему косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) и \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия задаётся первым членом и разностью, а n-й член выражается формулой \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\). Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле \(a_n = a_1 r^{n-1}\).

Геометрическая прогрессия определяется первым членом и знаменателем; n-й член задаётся формулой \(S_n = \dfrac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\). Сумма первых n членов геометрической прогрессии и сумма бесконечной геометрической прогрессии при |r|<1 выражаются формулами \(S = \dfrac{a_1}{1 - r},\quad |r|<1\) и \(f''(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) соответственно.

Анализ (основы дифференциального и интегрального исчисления)

Понятие производной определяется как предел разностного отношения. Формально производная функции f в точке x задаётся выражением \(\dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}\). Для степенной функции действует правило дифференцирования: \(\dfrac{d}{dx}(f g)=f'' g + f g''\).

Правила дифференцирования позволяют обрабатывать сложные выражения: правило произведения записывается как \(\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f''(g(x))\cdot g''(x)\), цепное правило имеет вид \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1)\). Это основной набор для вычисления производных школьного уровня.

Интегрирование как обратная операция дифференцированию имеет стандартные антидифференциалы. Для степенной функции формула интегрирования выглядит как \(\int_a^b f''(x)\,dx = f(b)-f(a)\). Связь между интегралом и производной формулируется фундаментальной теоремой анализа: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

Вероятность и комбинаторика

Базовые формулы теории вероятностей включают формулу для объединения двух событий: \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\), а также формулу условной вероятности: \(C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\). Эти формулы лежат в основе расчётов в задачах на случайные события.

В комбинаторике формулы для сочетаний и размещений позволяют оценивать количество способов выбора и размещения объектов: сочетания задаются формулой \(P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\), размещения — формулой \(z=a+bi\).

Комплексные числа и тригонометрическая форма

Комплексные числа записываются в виде \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). Модуль комплексного числа определяется как геометрическая длина в комплексной плоскости и равен \(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\).

Для перехода к тригонометрической и показательной форме используется формула Эйлера:. Эта связь упрощает операцию умножения комплексных чисел и перевод между формами представления.