Дискретное множество

Дискретное множество — это понятие из топологии и теории множеств, которое формализует интуитивную идею «разрозненности» элементов множества. Формально в метрическом пространстве множества называют дискретным, если любой его элемент является изолированной точкой, то есть вокруг каждой точки существует окрестность, не содержащая других точек множества. Это можно записать кратко как \(\forall x\in D\;\exists r>0:\;B(x,r)\cap D=\{x\}\). Такое определение подчеркивает, что в дискретном множестве отсутствуют предельные точки, к которым стремятся бесконечно близко другие элементы множества.

Понятие дискретного множества широко используется в разных разделах математики. В топологии и анализе дискретные множества служат простыми примерами множеств без аккумуляции; в теории меры и вероятностей дискретные меры сконцентрированы на отдельных точках. В комбинаторике и теории графов часто рассматривают дискретные подмножества вершин, а в теории чисел привычные множества, такие как множество целых чисел, служат примерами дискретных множеств в обычной метрике на прямой. На практике дискретность упрощает многие рассуждения: функции, заданные на дискретных множествах, легко изучать по значениям в точках, не беспокоясь о поведении «между» ними. Можно также рассматривать дискретную топологию, где каждое подмножество является открытым — в этом смысле пространство «полностью дискретно».