Диагональ

В геометрии термин «диагональ» обычно обозначает отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника или многогранника. В простейшем случае в четырёхугольнике диагональ — это отрезок между противоположными вершинами. Для многогранников под диагональю понимают как отрезки, соединяющие вершины, так и отрезки, проходящие через внутреннюю часть тела (пространственные диагонали). Понятие диагонали помогает анализировать форму, симметрию и размеры фигур без необходимости разбиения их на меньшие части.

Практическое применение диагоналей встречается и в планиметрии (при вычислении длин и площадей), и в стереометрии (при определении расстояний в объёмах), и в комбинаторике (при подсчёте количества отрезков соединяющих вершины). Так, для прямоугольника длина диагонали вычисляется по теореме Пифагора и равна \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\), где a и b — длины смежных сторон. Для квадрата это упрощается до \(d = a\sqrt{2}\). В трёхмерном прямоугольном параллелепипеде длина пространственной диагонали задаётся выражением \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Наконец, число диагоналей в выпуклом n-угольнике можно подсчитать по формуле \(N = \dfrac{n(n-3)}{2}\), поскольку из каждой вершины можно провести диагонали в n-3 другие вершины, и каждый отрезок учитывается дважды.