Тапсырмалар № 25, 26 · ЕГЭ

Степень вхождения простого числа

Максимальная степень простого числа, делящая заданное натуральное число

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Степень вхождения простого числа в натуральное число — это наибольшая степень этого простого числа, на которую число делится без остатка. Иными словами, она показывает, сколько раз простое число является множителем в разложении на простые множители.

Степень вхождения простого числаОбозначение $v_p(n)$ связано с английским словом valuation — «оценка».

Для простого числа $p$ и натурального числа $n$ степенью вхождения $p$ в $n$ называют такое целое число $k$, что $p^k$ делит $n$, но $p^{k+1}$ уже не делит $n$. Обозначают: $v_p(n)=k$. Здесь $p$ — простое число; о таких числах подробнее см. определение простого числа.

Формула и смысл

\[v_p(n)=\max\{k\in\mathbb{N}_0: p^k\mid n\}\]

Если число представлено в виде разложения на простые множители $n=p^k\cdot q_1^{a_1}\cdot q_2^{a_2}\cdots$, где остальные простые числа отличаются от $p$, то степень вхождения равна показателю $k$. Если $p$ не кіреді в разложение $n$, то $v_p(n)=0$. Например, $v_2(15)=0$, потому что 15 не делится на 2.

№

Пример

Найдём степень вхождения числа 3 в число 360. Разложим число: $360=2^3\cdot3^2\cdot5$. Наибольшая степень 3, на которую делится 360, — это $3^2=9$, а $3^3=27$ уже не делит 360. Поэтому $v_3(360)=2$. То же можно получить последовательным делением: $360:3=120$, $120:3=40$, а 40 на 3 не делится.

Не путайте

Степень вхождения — не само простое число и не значение $p^k$. В примере выше простое число равно 3, максимальная степень равна 2, а соответствующий множитель равен $3^2=9$. Также не следует путать показатель степени с количеством всех делителей числа.

Проверьте себя

Чему равна степень вхождения числа 2 в число 48?

Главное за минуту

Главное

$v_p(n)$ — наибольший показатель $k$, для которого $p^k\mid n$.
В разложении числа на простые множители степень вхождения равна показателю при простом числе $p$.
Если $p$ не является делителем $n$, то $v_p(n)=0$.