Построение логического выражения по условию
Построение логического выражения начинается с перевода словесного условия в простые высказывания, обозначенные буквами. Затем союзы и обороты заменяются логическими операциями, а полученная формула проверяется на соответствие исходному смыслу.
1. Выделяем простые высказывания
Простое высказывание — утверждение, которое может быть истинным или ложным, но не одновременно и тем и другим. В задачах его удобно обозначать заглавной латинской буквой: \(A\), \(B\), \(C\). Мысалы: \(A\) — «число \(x\) делится на 3», \(B\) — «число \(x\) больше 10».
Логическая переменная принимает одно из двух значений: 1 — истина или 0 — ложь. При построении формулы переменная обычно обозначает простое высказывание, а не отдельное слово из условия.
Сначала выпишите все содержательные признаки условия. Не смешивайте в одной переменной несколько независимых признаков. Например, фразу «число чётное и больше 20» лучше представить как \(A\) — «число чётное» и \(B\) — «число больше 20», а не как одну переменную.
Подпишите переменные прямо рядом с условием. После этого заменяйте связки по одной: сначала отрицание, затем «и» или «или», затем более сложные конструкции.
2. Переводим слова в операции
Основные логические связки имеют устойчивые соответствия. Их важно читать буквально, учитывая область действия отрицания и скобки.
| Фраза в условии | Операция | Формула |
|---|---|---|
| «не \(A\)» | отрицание | \(\neg A\) |
| «\(A\) и \(B\)» | конъюнкция | \(A\land B\) |
| «\(A\) немесе \(B\)» | дизъюнкция | \(A\lor B\) |
| «если \(A\), то \(B\)» | импликация | \(A\to B\) |
| «\(A\) тогда и только тогда, когда \(B\)» | эквивалентность | \(A\leftrightarrow B\) |
«И» означает, что истинны оба условия. «Или» в математической логике обычно означает хотя бы одно из условий, поэтому \(A\lor B\) истинно и тогда, когда истинны одновременно \(A\) и \(B\). «Не» меняет значение высказывания на противоположное.
Слова «но», «а», «при этом» обычно не обозначают отдельную операцию: по смыслу они часто соответствуют союзу «и». Слова «либо…, либо…» могут иметь два смысла. Если требуется ровно одно условие, используйте исключающее «или»: \((A\lor B)\land\neg(A\land B)\).
Как записать условие «число делится на 2 или на 5, но не на оба числа сразу»? Пусть \(A\) — «делится на 2», \(B\) — «делится на 5».
3. Учитываем скобки и область отрицания
Басты бет причина ошибок — неверная граница части выражения, к которой относится «не». Сравните: «не \(A\) и \(B\)» обычно означает \((\neg A)\land B\), а «не (\(A\) и \(B\))» — \(\neg(A\land B)\). Это разные высказывания.
Отрицание конъюнкции превращается в дизъюнкцию отрицаний, а отрицание дизъюнкции — в конъюнкцию отрицаний. Эти правила помогают переводить фразы «неверно, что…» и отрицать сложное высказывание.
Если условие содержит оборот «неверно, что…», сначала заключите всю соответствующую часть в скобки, а затем поставьте перед ней знак отрицания. Не раскрывайте скобки мысленно: границы должны быть видны в записи.
Нельзя автоматически переводить «если \(A\), то \(B\)» как \(A\land B\). Импликация \(A\to B\) ложна только в одном случае: \(A=1\), \(B=0\). Если условие тапсырма не использует смысл «если…, то…», не добавляйте импликацию самостоятельно.
4. Пошаговый разбор условия
Рассмотрим условие экзаменационного типа: «Число \(x\) является двузначным и делится на 3, но не делится на 5 или является однозначным». Требуется построить формулу.
В условии есть две крупные части, соединённые словом «или». Первая часть содержит «и» и отрицание. Сначала обозначим простые высказывания, затем соберём формулу с нужными скобками.
Проверка смыслом: выражение истинно, если число одновременно двузначное, кратно 3 и не кратно 5, либо если оно однозначное. Именно это и сказано в условии.
1) выпишите простые высказывания; 2) найдите отрицания; 3) замените союзы операциями; 4) расставьте скобки по смысловым частям; 5) прочитайте формулу обратно словами.
5. Проверяем готовую формулу
После построения формулы полезно выполнить обратный перевод: прочитайте её слева направо и сравните с исходным условием. Если нужно доказать, что два варианта записи равносильны, применяйте преобразование логических выражений немесе проверку равносильности таблицей истинности.
При сложной формуле можно ввести промежуточные обозначения. Например, для \(F=(A\land\neg B)\lor(C\land D)\) сначала рассмотрите \(P=A\land\neg B\) и \(Q=C\land D\), а затем запишите \(F=P\lor Q\). Это уменьшает количество ошибок и помогает посчитать количество логических операций.
Если скобки не указаны, обычно сначала выполняется отрицание, затем конъюнкция, затем дизъюнкция; импликация и эквивалентность имеют более низкий приоритет. В ответах лучше ставить скобки явно, даже если их можно опустить.
Быстрая проверка
Главное
- Разделяйте условие на простые высказывания и обозначайте их переменными.
- Переводите «и», «или», «не», «если…, то…» соответственно в \(\land\), \(\lor\), \(\neg\), \(\to\).
- Ставьте скобки по смысловым частям; особенно внимательно определяйте область отрицания.
- Различайте обычное «или» и «либо…, либо…», когда требуется ровно одно условие.
- Проверяйте формулу обратным чтением и при необходимости используйте таблицу истинности.