Отрицание сложного высказывания
Отрицание сложного высказывания — это построение нового высказывания, которое истинно ровно тогда, когда исходное составное высказывание ложно. При отрицании важно учитывать логическую структуру высказывания: знак отрицания меняет не только значения простых высказываний, но и соединяющую их операцию.
Основные правила
Если высказывание состоит из частей, сначала выделяют его структуру. Для конъюнкции «\(A\) и \(B\)» отрицание превращается в дизъюнкцию: достаточно, чтобы ложной была хотя бы одна часть. Для дизъюнкции «\(A\) или \(B\)» отрицание превращается в конъюнкцию: обе части должны быть ложными.
В этих формулах \(\neg\) — знак отрицания, \(\land\) — логическое «и», а \(\lor\) — логическое «или». Символ \(\equiv\) означает равносильность: выражения имеют одинаковые значения при любых наборах исходных данных.
Пусть \(A\): «число делится на 2», а \(B\): «число меньше 10». Высказывание «\(A\) и \(B\)» имеет вид \(A \land B\). Его отрицание: «число не делится на 2 или число не меньше 10», то есть \(\neg A \lor \neg B\). Отрицать всё высказывание целиком нужно с учётом скобок: \(\neg(A \land B)\).
Отрицание «\(A\) и \(B\)» — это не «не \(A\) и не \(B\)», а «не \(A\) или не \(B\)». Аналогично, отрицание «\(A\) или \(B\)» — не «не \(A\) или не \(B\)», а «не \(A\) и не \(B\)». Такая замена операции называется законами де Моргана. С отрицанием отдельных условий подробнее помогает страница отрицание условий.
Как записать отрицание высказывания «\(A\) или \(B\)»?
Чтобы проверить результат, можно построить составное высказывание и сравнить значения исходного выражения и его отрицания в таблице истинности. Они всегда должны быть противоположными.
Главное
- При отрицании конъюнкции «и» заменяется на «или»: \(\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B\).
- При отрицании дизъюнкции «или» заменяется на «и»: \(\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B\).
- Сначала определяйте структуру выражения и расставляйте скобки, затем отрицайте каждую его часть.