Задания № 15, 23 · ЕГЭ

Обратная и противоположная импликация

Как связаны импликация, обратное и противоположное условные высказывания

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Для импликации \(A \to B\) обратной является \(B \to A\), а противоположной — \(\neg B \to \neg A\). Исходная и противоположная импликации всегда равносильны, а обратная обычно не равносильна исходной.

Пусть исходное условное высказывание имеет вид \(A \to B\): «если \(A\), то \(B\)». Обратная импликация получается перестановкой условия и следствия: \(B \to A\). Противоположная импликация получается одновременным отрицанием следствия и условия с перестановкой их мест: \(\neg B \to \neg A\). Она называется также контрапозитивной импликацией. Исходная и противоположная импликации имеют одинаковые значения при любых значениях \(A\) и \(B\).

Формулы связи

\[A \to B \equiv \neg B \to \neg A\]

Обратная импликация \(B \to A\) связана с исходной иначе: из истинности \(A \to B\) сама по себе не следует её истинность. Например, из утверждения «если число делится на 4, то оно чётное» нельзя заключить, что всякое чётное число делится на 4.

№

Пример

Исходное высказывание: «Если число делится на 4, то оно делится на 2»: \(A \to B\). Обратное: «Если число делится на 2, то оно делится на 4»: \(B \to A\) — неверно, например для числа 6. Противоположное: «Если число не делится на 2, то оно не делится на 4»: \(\neg B \to \neg A\) — истинно и равносильно исходному.

Не путайте

В школьных задачах словом «противоположная» обычно называют контрапозицию \(\neg B \to \neg A\). Иногда отдельно рассматривают противоположную обратной импликацию: \(\neg A \to \neg B\). Она не обязана быть равносильна исходной. Поэтому сначала запишите исходную форму \(A \to B\), а затем выполните нужное преобразование.

Проверьте себя

Какова противоположная импликация для \(X \to Y\)?

Главное за минуту

Главное

Для \(A \to B\) обратная импликация — \(B \to A\).
Противоположная импликация — \(\neg B \to \neg A\); она равносильна исходной.
Обратная импликация обычно не равносильна исходной, поэтому направление условия важно.