Задания № 19, 20, 21 · ЕГЭ

Проигрышная позиция

Как распознать позицию, из которой нельзя выиграть первым ходом

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Проигрышная позиция — это положение в игре, из которого игрок не может сделать ход, гарантирующий победу: любой его допустимый ход передаёт сопернику выигрышную позицию.

Проигрышная позицияТермин используется в теории [[term:combinatorial-games|комбинаторных игр]], где результат зависит от выбранных ходов и обычно предполагается оптимальная игра обоих участников.

Позиция в игре для двух игроков, в которой при правильной игре соперника любой допустимый ход переводит игру в выигрышную позицию соперника. Проигрышная позиция часто обозначается буквой \(P\) (от английского previous player — предыдущий игрок). Она определяется относительно игрока, который должен ходить сейчас.

Чтобы определить тип позиции, рассматривают все ходы из неё. Если существует хотя бы один ход в проигрышную позицию соперника, исходная позиция является выигрышной. Если же все ходы ведут в выигрышные позиции соперника, исходная позиция проигрышная.

\[P \iff \text{все допустимые ходы ведут в } W, \qquad W \iff \text{существует ход в } P\]

№

Пример

Пусть за один ход из кучки можно убрать 1 или 2 камня, а проигрывает тот, кто не может сделать ход. Позиция с 1 камнем выигрышная: можно убрать камень и оставить сопернику 0. Позиция с 2 камнями тоже выигрышная: можно убрать 2 камня. Позиция с 3 камнями проигрышная: после удаления 1 или 2 камней сопернику остаётся соответственно 2 или 1 камень — обе позиции выигрышные для него.

Не путайте

Проигрышная позиция не обязательно означает, что игра уже закончилась. В ней могут быть допустимые ходы, но каждый из них ухудшает положение текущего игрока и переводит игру в выигрышную позицию соперника. Окончательная позиция без ходов — лишь частный случай проигрышной.

Проверка

Из позиции можно сделать три хода: в проигрышную, выигрышную и выигрышную позиции. Какой тип у исходной позиции?

Главное за минуту

Главное

В проигрышной позиции любой допустимый ход отдаёт сопернику выигрышную позицию.
Позиция выигрышная, если из неё существует хотя бы один ход в проигрышную позицию.
Для решения задач ЕГЭ позиции часто классифицируют с конца игры, используя позиции в игре и переходы между ними.