Логическое тождество
Логическое тождество — это равенство двух логических выражений, которое остаётся верным при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Тождества используют, чтобы упрощать выражения и переходить между нормальными формами.
Как проверить тождество
Для выражений с небольшим числом переменных можно построить таблицу истинности и сравнить их последние столбцы. Если результаты совпадают во всех строках, выражения тождественны. Другой способ — преобразовать одну часть с помощью законов булевой алгебры до вида другой части, например применяя законы де Моргана или закон поглощения.
Докажем тождество \(A \lor (A \land B) \equiv A\). Если \(A=1\), левая часть равна \(1 \lor (1 \land B)=1\), какова бы ни была \(B\). Если \(A=0\), она равна \(0 \lor (0 \land B)=0\). Значение совпадает с правой частью \(A\) в обоих случаях. Это частный случай закона поглощения.
Тождество отличается от обычного равенства или уравнения. Равенство может выполняться только при некоторых значениях переменных, а тождество — при всех. Например, \(A \lor B = 1\) верно не всегда, а \(A \lor 1 \equiv 1\) — тождество.
Какое равенство является логическим тождеством?
Главное
- Логическое тождество — равенство, верное при всех наборах значений переменных.
- Тождество проверяют таблицей истинности или преобразованием по законам булевой алгебры.
- Знак \(\equiv\) отличает тождественное равенство от равенства, верного лишь в отдельных случаях.