Решение: 1, 3/4, 9/16, ... — бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите Sₙ.
1, $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{16}$, ... — бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите $S_n$.
Решение по шагам
4 шагаНайдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{3/4}{1} = \frac{3}{4}$
$$q = \frac{3}{4}$$Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$
$$S_n = 1 \cdot \frac{1 - (3/4)^n}{1 - 3/4}$$Упрощаем знаменатель: $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$, тогда $S_n = \frac{1 - (3/4)^n}{1/4} = 4 \left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)$
$$S_n = 4 \left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)$$При $n \to \infty$ сумма бесконечной прогрессии стремится к $4 \cdot (1 - 0) = 4$. Но так как в условии требуется $S_n$ — сумма первых $n$ членов, а варианты — постоянные числа, то подразумевается сумма бесконечной прогрессии (частая формулировка в таких задачах при обозначении $S_n$ при $n\to\infty$). Тогда ответ — 4.
$$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - 3/4} = \frac{1}{1/4} = 4$$Где здесь ошибаются
Путаница между суммой первых $n$ членов и суммой бесконечной прогрессии
Неверный расчет знаменателя (например, взяли $q = 4/3$)
Забыли вычесть $q^n$ в формуле и написали $S_n = \frac{1}{1 - q} = 4$ без условия на $n$