Шешімі: Теңсіздікті шешіңіз: $\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)
Теңсіздікті шешіңіз: $\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right) \le 1$
Шешімін қадамдап көрсету
6 қадамПрименим формулу разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right) = -2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)+\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)}{2}\sin\frac{\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)-\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)}{2}$$Упростим аргументы: $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{4}$, $\frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{12} - 2x$. Тогда неравенство становится: $-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{12}-2x\right) \le 1$.
$$-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{12}-2x\right) \le 1$$Подставим $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12}-2x\right) = -\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12}-2x\right) \le 1$. Делим на $-\sqrt{2}$ (меняем знак неравенства): $\sin\left(\frac{\pi}{12}-2x\right) \ge -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$$\sin\left(\frac{\pi}{12}-2x\right) \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$$Решим $\sin\theta \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$: это верно для $\theta \in \left[-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$. Подставляем $\theta = \frac{\pi}{12}-2x$:
$$-\frac{\pi}{4}+2\pi k \le \frac{\pi}{12}-2x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi k$$Решим относительно $x$: вычтем $\frac{\pi}{12}$, разделим на $-2$ (меняем знаки неравенств):
$$-\frac{\pi}{4}+2\pi k - \frac{\pi}{12} \le -2x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi k - \frac{\pi}{12}$$Упростим bounds: $-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = -\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3}$; $\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{15\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6}$. Тогда:
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi k \le -2x \le \frac{7\pi}{6}+2\pi k$$Где здесь ошибаются
Забыли изменить знак неравенства при делении на отрицательное число при переходе от -2x к x.
Ошибка в упрощении суммы и разности углов при применении формулы разности косинусов.
Неправильное определение интервалов для синуса: приняли решением \sin\theta \ge -\sqrt{2}/2 как объединение двух интервалов вместо одного непрерывного.