Решение: Давление на высоте
Метеорологический зонд общей массой $20\ \text{кг}$ удерживают на поверхности Земли силой, равной по модулю $1\ \text{кН}$ и направленной вниз. Затем зонд отпускают, он поднимается вверх и остаётся на такой высоте, где его объём увеличивается в $2$ раза. Температура, измеренная зондом на этой высоте, равна $-43\ ^\circ\text{C}$. Определите давление на этой высоте, если на поверхности Земли давление равно $10^5\ \text{Па}$, а температура равна $+17\ ^\circ\text{C}$.
Решение по шагам
6 шаговПри удержании зонда у поверхности Земли сила Архимеда уравновешивает силу тяжести и направленную вниз силу удержания:
$$F_{A0}=mg+F$$После отпускания зонд находится в равновесии на высоте, поэтому сила Архимеда равна силе тяжести:
$$F_{A1}=mg$$Принимаем $g=10\ \text{м/с}^2$. Тогда $mg=20\cdot10=200\ \text{Н}$, а $F_{A0}=200+1000=1200\ \text{Н}$. Так как $V_1=2V_0$, отношение плотностей воздуха равно:
$$\frac{\rho_1}{\rho_0}=\frac{F_{A1}}{F_{A0}}\frac{V_0}{V_1}=\frac{200}{1200}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$$Для воздуха постоянного состава из уравнения состояния идеального газа следует $\rho\sim\dfrac{p}{T}$. Переведём температуры в кельвины:
$$T_0=17+273=290\ \text{К},\qquad T_1=-43+273=230\ \text{К}$$Используем связь давлений, температур и плотностей:
$$\frac{p_1}{p_0}=\frac{\rho_1T_1}{\rho_0T_0}=\frac{1}{12}\cdot\frac{230}{290}$$Подставим $p_0=10^5\ \text{Па}$:
$$p_1=10^5\cdot\frac{230}{12\cdot290}\approx6.6\cdot10^3\ \text{Па}$$Давление на высоте примерно равно $6{,}6\cdot10^3\ \text{Па}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать силу, направленную вниз, при определении начальной силы Архимеда.
Забыть, что после отпускания сила Архимеда равна только силе тяжести.
Использовать температуру в градусах Цельсия вместо температуры в кельвинах.
Учесть изменение объёма в неправильном направлении.