Решение: Перезарядка конденсаторов
Конденсатор $C_1$ заряжен до напряжения $U = 300\ \text{В}$ и включён в последовательную цепь из резистора $R = 300\ \text{Ом}$, незаряженного конденсатора $C_2 = 2\ \text{мкФ}$ и разомкнутого ключа $K$ (см. рисунок). После замыкания ключа в процессе перезарядки конденсаторов в цепи выделяется количество теплоты $Q = 30\ \text{мДж}$. Чему равна ёмкость конденсатора $C_1$?
Решение по шагам
6 шаговИзначально энергия имеется только в заряженном конденсаторе $C_1$:
$$W_0 = \frac{C_1U^2}{2}$$При замыкании ключа заряд системы сохраняется. После окончания перезарядки оба конденсатора имеют одинаковое напряжение:
$$C_1U = (C_1+C_2)U_{\text{кон}},\quad U_{\text{кон}} = \frac{C_1U}{C_1+C_2}$$Конечная энергия конденсаторов равна:
$$W_1 = \frac{(C_1+C_2)U_{\text{кон}}^2}{2} = \frac{C_1^2U^2}{2(C_1+C_2)}$$Выделившееся в резисторе количество теплоты равно разности начальной и конечной энергий:
$$Q = W_0-W_1 = \frac{U^2}{2}\cdot\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$$Подставим $Q=30\ \text{мДж}=0{,}030\ \text{Дж}$, $U=300\ \text{В}$ и $C_2=2\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$:
$$0{,}030 = \frac{300^2}{2}\cdot\frac{C_1\cdot2\cdot10^{-6}}{C_1+2\cdot10^{-6}}$$После упрощения получаем:
$$\frac{C_1}{C_1+2\cdot10^{-6}}=\frac{1}{3},\quad 3C_1=C_1+2\cdot10^{-6},\quad C_1=1\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$$$C_1 = 1\ \text{мкФ}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать сохранение полного заряда системы.
Считать, что после перезарядки напряжение на конденсаторах равно первоначальному напряжению.
Использовать только начальную энергию и не вычесть конечную энергию конденсаторов.
Потерять множитель $\frac{1}{2}$ в формуле энергии конденсатора.