Решение: Цикл газа в координатах p–V
1 моль разреженного гелия участвует в циклическом процессе $1\text{–}2\text{–}3\text{–}4\text{–}1$, график которого изображён на рисунке в координатах $V\text{–}T$, где $V$ — объём газа, $T$ — абсолютная температура. Постройте график цикла в координатах $p\text{–}V$, где $p$ — давление газа, $V$ — объём газа. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, объясните построение графика. Определите, во сколько раз работа газа в процессе $2\text{–}3$ больше модуля работы внешних сил в процессе $4\text{–}1$.
Решение по шагам
9 шаговПо уравнению состояния одного моля идеального газа $pV=RT$. В точках цикла имеем: $1:(T_0,V_0)$, $2:(3T_0,V_0)$, $3:(6T_0,2V_0)$, $4:(2T_0,2V_0)$.
Введём $p_0=\dfrac{RT_0}{V_0}$. Тогда давления в точках равны:
$$p_1=\frac{RT_0}{V_0}=p_0,\quad p_2=\frac{3RT_0}{V_0}=3p_0,\quad p_3=\frac{6RT_0}{2V_0}=3p_0,\quad p_4=\frac{2RT_0}{2V_0}=p_0$$Процесс $1\text{–}2$ происходит при постоянном объёме $V=V_0$, поэтому на $p\text{–}V$-диаграмме это вертикальный отрезок от точки $(V_0,p_0)$ до точки $(V_0,3p_0)$.
Процесс $2\text{–}3$ происходит при постоянном давлении $p=3p_0$, поэтому это горизонтальный отрезок от $V_0$ до $2V_0$.
Процесс $3\text{–}4$ происходит при постоянном объёме $V=2V_0$, поэтому это вертикальный отрезок вниз от давления $3p_0$ до $p_0$.
Процесс $4\text{–}1$ происходит при постоянном давлении $p=p_0$, поэтому это горизонтальный отрезок влево от объёма $2V_0$ до $V_0$. На $p\text{–}V$-диаграмме цикл имеет вид прямоугольника.
Работа газа на участке $2\text{–}3$ равна площади под графиком изобары:
$$A_{2\text{–}3}=3p_0(2V_0-V_0)=3p_0V_0$$На участке $4\text{–}1$ газ сжимается, поэтому работа газа отрицательна, а работа внешних сил положительна. Модуль работы внешних сил равен:
$$|A_{\text{внеш},4\text{–}1}|=p_0(2V_0-V_0)=p_0V_0$$Искомое отношение работ:
$$\frac{A_{2\text{–}3}}{|A_{\text{внеш},4\text{–}1}|}=\frac{3p_0V_0}{p_0V_0}=3$$Работа газа в процессе $2\text{–}3$ в $3$ раза больше модуля работы внешних сил в процессе $4\text{–}1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать участки $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$ изохорами.
Забыть, что на участке $4\text{–}1$ газ сжимается и работа внешних сил противоположна по знаку работе газа.
Использовать только координаты по оси $T$ и не вычислить давления в точках.
Построить на $p\text{–}V$-диаграмме неверное направление цикла.