Решение: Колебания заряженного шарика
Маленький незаряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, помещён над горизонтальной диэлектрической пластиной, равномерно заряженной отрицательным зарядом. Размеры пластины во много раз превышают длину нити. Опираясь на законы механики и электродинамики, объясните, как изменится частота малых свободных колебаний шарика, если ему сообщить положительный заряд.
Решение по шагам
6 шаговНад равномерно заряженной отрицательной пластиной электрическое поле направлено к пластине, то есть вертикально вниз.
Незаряженный шарик совершает малые колебания под действием силы тяжести. Для математического маятника его циклическая частота равна
$$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$$После сообщения шарику положительного заряда $q$ на него действует дополнительная электрическая сила, направленная вниз:
$$F_\text{эл}=qE$$Электрическая сила постоянна по величине, так как поле над большой равномерно заряженной пластиной можно считать однородным. Поэтому суммарная вертикальная сила, создающая колебания, равна $mg+qE$.
Для малых отклонений возвращающая составляющая этой силы пропорциональна углу отклонения. Поэтому циклическая частота заряженного шарика равна
$$\omega=\sqrt{\frac{mg+qE}{m\ell}}=\sqrt{\frac{g+qE/m}{\ell}}$$Так как $q>0$ и $E>0$, выражение $g+qE/m$ больше $g$. Следовательно, циклическая частота и обычная частота колебаний увеличиваются.
Частота малых свободных колебаний увеличится: положительно заряженный шарик притягивается к отрицательной пластине, и сила, возвращающая его к положению равновесия, возрастает.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что положительный заряд отталкивается от отрицательной пластины.
Утверждать, что электрическое поле изменяет длину нити.
Учитывать только изменение положения равновесия и не учитывать увеличение результирующей возвращающей силы.
Использовать формулу маятника только с ускорением $g$, не добавляя электрическое ускорение $qE/m$.