Решение: Работа газа в цикле
Один моль гелия участвует в циклическом процессе $1$–$2$–$3$–$4$–$1$, график которого изображён на рисунке в координатах $p$–$T$, где $p$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, сравните модуль работы газа в процессе $2$–$3$ и модуль работы внешних сил в процессе $4$–$1$. Постройте график цикла в координатах $p$–$V$, где $p$ — давление газа, $V$ — объём газа.
Решение по шагам
6 шаговДля одного моля идеального газа используем уравнение состояния $pV=RT$, откуда $V=\dfrac{RT}{p}$.
Из координат точек на $p$–$T$ диаграмме: $1(T_0,p_0)$, $2(6T_0,6p_0)$, $3(6T_0,3p_0)$, $4(2T_0,p_0)$.
Объёмы состояний равны: $V_1=\dfrac{RT_0}{p_0}$, $V_2=\dfrac{R\cdot6T_0}{6p_0}=V_1$, $V_3=\dfrac{R\cdot6T_0}{3p_0}=2V_1$, $V_4=\dfrac{R\cdot2T_0}{p_0}=2V_1$.
В процессе $2$–$3$ температура постоянна и равна $6T_0$, поэтому работа газа при расширении от $V_2$ до $V_3$ равна
$$A_{2\text{–}3}=R\cdot6T_0\ln\frac{V_3}{V_2}=6RT_0\ln2$$В процессе $4$–$1$ давление постоянно и равно $p_0$, газ сжимается от $V_4=2V_1$ до $V_1$. Работа внешних сил по модулю равна
$$|A_{\text{внеш},4\text{–}1}|=p_0(V_4-V_1)=p_0\left(\frac{2RT_0}{p_0}-\frac{RT_0}{p_0}\right)=RT_0$$Сравниваем полученные значения: $6RT_0\ln2\approx4{,}16RT_0>RT_0$. На $p$–$V$ диаграмме точки $1$ и $2$ имеют одинаковый объём, точки $3$ и $4$ — одинаковый объём; участок $2$–$3$ является изотермой, а участок $4$–$1$ — горизонтальным отрезком.
$|A_{2\text{–}3}|=6RT_0\ln2$, $|A_{\text{внеш},4\text{–}1}|=RT_0$, поэтому $|A_{2\text{–}3}|>|A_{\text{внеш},4\text{–}1}|$. На $p$–$V$ диаграмме: $V_1=V_2=\dfrac{RT_0}{p_0}$, $V_3=V_4=\dfrac{2RT_0}{p_0}$; $2$–$3$ — изотерма, $4$–$1$ — изобара.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать вертикальный участок на $p$–$T$ диаграмме изохорным: вертикальный участок здесь соответствует постоянной температуре.
Использовать формулу работы при постоянном давлении для процесса $2$–$3$.
Забыть, что в процессе $4$–$1$ газ сжимается, поэтому работа внешних сил положительна, а работа газа отрицательна.
Неверно перенести точки на $p$–$V$ диаграмму без вычисления объёмов.